Ingenieria

DERIVADA
Derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplos
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

Calcular la derivada de en x = −5.

Hallar la derivada deen x = 1.

Determinar la derivada de en x = 2.

Calcula el valor de la derivada en x = 2.

Hallar la derivada de en x = 3.

Derivadas laterales
Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Ejemplo
Estudiar el valor de laderivada de en x = 0

Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.

Interpretación de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a lacurva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que lapendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 seanparalelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada

Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido(Δt).

Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo[1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido enhoras. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

Derivadas de funciones

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplos
Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función...