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Metodos Numéricos Tema: Solución de ecuaciones no lineales

Irene Tischer

Escuela de Ingeniería y Computación Universidad del Valle, Cali

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Métodos numéricos

Tema: Sistemas Lineales

Contenido
1. Generalidades 2. El método de Bisección 3. El método de Newton-Raphson 4. Sistemas de ecuaciones no lineales

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Tema: Sistemas Lineales

Contenido
1.

Generalidades

2. El método de Bisección 3. El método de Newton-Raphson 4. Sistemas de ecuaciones no lineales

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1. Generalidades

Motivación
En muchas situaciones surge, de manera natural, el cálculo de las raíces de una ecuación no lineal en una variable,

f (x)= 0
Ciertas ecuaciones no lineales pueden resolverse analíticamente:

6x2 − 7x + 2 = 0

⇒

(3x − 2)(2x − 1) = 0

⇒ ⇒

x = 2, 1 3 2 x=
nπ nπ 5 , 2 ,n

cos 3x − cos 7x = 0 ⇒ 2 sin 5x sin 2x = 0

∈Z

Otras ecuaciones no lineales no tienen solución analítica:

2

x2

− 10 x + 1 = 0,

cosh

x2 + 1 − ex + log | sin x| = 0

Muchas veces los coecientes de las ecuaciones nolineales se conocen solo de forma aproximada, por lo que carecería de sentido un cálculo exacto.
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1. Generalidades

Cálculo aproximado de raíces
Entonces es importante el estudio de métodos numéricos para encontrar las soluciones ó raíces de una ecuación:

f (x) = 0 en [a, b]
que permitan aproximarlas con el gradode precisión deseado. Los métodos numéricos para buscar la ó las raíces de una ecuación no lineal

f (x) = 0
están basados en técnicas iterativas: Comenzando por una solución aproximada, se utiliza un algoritmo numérico que mejora la solución hasta que se satisface un determinado criterio de convergencia.

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1.Generalidades

Etapas del cálculo aproximado de raíces
En el cálculo aproximado de raíces de una ecuación,

f (x) = 0 en [a, b]
podemos distinguir dos etapas principales, 1.

Separación de raíces: Se establecen subintérvalos de [a, b] que contengan
una y solo una raíz de la ecuación. Teorema de Bolzano: nos garantiza la existencia de raíces. Teorema de Rolle: nos acota el número de raíces quepueda haber.

2.

iterativo que conduce a una sucesión: {xn}∞ que tiende al valor de la raíz. n=0 Se toma como aproximación de la solución un elemento de la sucesión próximo a la raíz.

Cálculo de las raíces: En cada uno de los intervalos se aplica un proceso

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1. Generalidades

Teorema de Bolzano
Sea f unafunción real, continua en el intervalo [a, b]. Si el signo de f cambia en los extremos del intervalo, es decir si f (a)f (b) < 0, entonces f tiene por lo menos una raíz en (a, b).

f

raiz a b

Figura 1. El teorema de Bolzano

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1. Generalidades

Teorema de Rolle
Sea f una función real, continua y diferenciableen el intervalo [a, b]. Si f (a) = f (b), entonces existe u en (a, b) tal que f (u) = 0.

f’HuL=0

fHaL

fHbL

a

Figura 2. El teorema de Rolle
u b

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1. Generalidades

Uso de los teoremas de Bolzano y Rolle
1. Una función real diferenciable monótona en el intervalo [a, b], que cambia de signo en losextremos, tiene exactamente una raíz. 2. Si f es continua y diferenciable en [a, b] y si f tiene n raíces, entonces f tiene a lo sumo n + 1 raíces. 3. Si la segunda derivada f de f tiene signo constante, entonces f tiene a lo sumo 2 raíces.

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Contenido
1. Generalidades 2.

El método de Bisección

3. El método de...