Hidraulica

INTRODUCCIÓN








En el presente documento se explica detalladamente El Método de Gauss-Seidel.




Este es uno de los métodos mas interesantes siendo una herramienta importante del análisis numérico y particualmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas.




Normalmente este tema tiene procesos largos y porello son ideales para programar por computadora a través de programas como Mat. LAB y visual Basic y no solamente para hacerlos sobre el papel. Programar estos temas permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría aquí presentada.















OBJETIVOS





OBJETIVO GENERAL



✓ Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuacioneslineales por medio del método de descomposición de Gauss-Seidel.


OBJETIVOS ESPECÍFICOS



✓ tener una idea clara y comprensible del método de descomposición de Gauss-Seidel.



✓ Mostrar cómo aplicar el método ya mencionado para facilitar la solución de sistemas de ecuaciones Elaborando ejercicios con los conocimientos obtenidos respecto al tema .Método de gauss Seidel
en análisis numérico el método de gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales este método es similar al método de Jacobi.
Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados enla misma iteración, y no en la siguiente.

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

Bien proseguiré con la explicación del método y luego aclararé los detalles necesarios para determinar la eficacia del mismo.
Teniendo el siguiente sistema deecuaciones:
[pic]
Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de la ecuación 2,…, xn de la ecuación n, quedando:
[pic]

Desde la formula anterior resultan las fórmulas que se deberán ir aplicando en las diferentes iteraciones.
Para comenzar a aplicar el método debemos asignar un valor arbitrario a las variables x2,…xn con el fin de obtener x1.
Lo más conveniente en este caso es que comiencen en cero, locual nos facilitaría el trabajo ya que se reduce el cálculo de las primeras soluciones, entonces de esto resulta que:


 Ahora despejamos x2 de la ecuación 2 y reemplazamos a x1 por el valor obtenido en la ecuación anterior. De esto nos queda:
[pic]
Una vez que tenemos x2, despejamos x3 de la ecuación 3 y así sucesivamente con la n ecuaciones, cada vez asignando el valor de las x1, x2,… xn-1obtenido en el paso anterior.
Cuando hemos despejado las xn, tenemos lo que se conoce como primera solución o solución de la primera iteración:

Con los nuevos valores de x1, x2,…,xn aplicamos los mismos pasos anteriores pero con los nuevos valores de las xn, de esta manera conseguimos una segunda solución:
[pic]
Al tener esta segunda solución estamos en condiciones de calcular el error quese calcula como sigue:
[pic]
EJEMPLO 1 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL


PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:


[pic]





Hasta que: [pic]


SOLUCIÓN:


Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:


[pic]


Estas son el juego de fórmulas iterativas que se estaráutilizando.


Se comienza el proceso iterativo.


✓ sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:


[pic]


✓ Ahora se sustituye [pic]y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:


[pic]


✓ Ahora se sustituye [pic]y [pic]en la tercera ecuación para obtener x3:


[pic]






✓ Así se tiene la primera...