Guia Numeros Reales 2008

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas
Facultad de la Salud
FMM 032 - Elem.de Alg.y C´
alculo Elemental

GUIA NUMEROS REALES

1. Utilizando las propiedades de los n´
umeros reales, demuestre que:
ab
b
=a·
c
c
a+b
a b
(b)
= +
c
c c
a c
ad + bc
(c) + =
b d
bd
(a)

2. Demuestre que si a + b + c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc
√
√
3. Demuestre que 2 − 2 = − 2 + 2
4. Demuestre que(8 + x) − y = 8 + (x − y)
5. Demuestre que 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24
6. En los siguientes problemas, establezca cu´al propiedad de los n´
umeros reales se usa.
(a) 2(x + y) = 2x + 2y
(b) 2(3y) = (2 · 3)y
(c) 2(x − y) = (x − y) · 2
(d)

6
7

=6·

1
7

(e) (−1)(−3 + 4) = (−1)(−3) + (−1)(4)
7. Resuelva la ecuaci´on de primer grado, utilizando las propiedades de los n´
umeros reales. Indique lapropiedad que va ocupando paso a paso.
2(3x − 1) + 3 = 7x + 4
8. Demuestre que si a, b > 0, entonces
a b
+ ≥2
b a
9. Demuestre que ∀a, b ∈ R+ , se tiene que
a+b
2ab
≥
2
a+b
10. Demuestre que si a < b y c < d, entonces ad + bc < ac + bd

11. Resolver las siguientes inecuaciones
(a) x + 3 < 2x − 4
x−5 9−x
(b)
+
>x
2
3
(c) (x − 2)(x + 3) > x(x − 1)
1
(d)
≤1
x
x+1
(e)
<2
x−4
4
3
(f)
−
>1
x+1 x+2
3x +4
(g) −1 <
<1
x−7
2 2−x
(h)
−
≤1
x x−1
x2 − 4x + 3
(i) 2
≤ −1
x − 6x + 8
x2 − 3x + 2
(j) 2
<3
x + 2x + 6
12. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
(a) |x + 1| ≤ |2 + 3x|
|x|
(b)
≥0
x+2
2+x
(c) 2 <
<3
x−1
(d) |x − 1| = 2
(e) |x + 1| + |x − 1| = 0
13. En biolog´ıa existe una regla aproximada, llamada regla bioclim´atica para zonas templadas, que establece que enprimavera, y a principios de verano, fen´omenos peri´odicos tales como la aparici´on de
insectos, la maduraci´on de la fruta, por lo general se retardan alrededor de 4 d´ıas por cada 1500 metros.
h
de altura sobre el nivel del mar, esta regla bioclim´atica se resumen en la expresi´on d =
donde
1500
d( cambio en d´ıas ), h( cambio de altura medido en metros). Si esta regla es v´alida para 0 ≤ h ≤ 400,determinar la m´ınima y la m´axima retardaci´on para un fruto que florece entre los 1600 y 2300 metros
sobre el nivel del mar.
14. En sicolog´ıa el CI de una persona se encuentra al dividir la edad mental por la edad cronol´ogica y
luego esta relaci´on se multiplica por 100. En t´erminos de f´ormula esto se reduce a
CI =

EM · 100
EC

Si el intervalo de variaci´on de CI de un grupo de alumnos de laUNAB de 20 a˜
nos de edad es
70 ≤ CI ≤ 120 . Determinar el intervalo de variaci´
on de la edad mental del grupo.
15. El administrador de un centro m´edico estima que si se emplean x m´aquinas radiol´ogicas, el costo de
mantenci´on y energ´ıa (en millones de pesos) en un mes ser´a de
C =x+

6
x

¿Cu´antas m´aquinas se deben utilizar para que el costo sea a lo m´as de 5 millones?

16. Undeterminado f´armaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta v´ıa intramuscular. Su
74x
efecto (en horas) es dado en funci´on de x (mg de dosis) por E =
. ¿ Qu´e cantidad de dosis se
8x + 3
debe inyectar para que el f´armaco tenga efecto m´as de 4 horas y menos de 8 horas?
5
17. Use la relaci´on C = (F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a
9
20 ≤ C ≤ 30 .18. ¿A qu´e rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 ≤ F ≤ 95 ?
19. Un n´
umero entero positivo excede a otro en 5 unidades y su suma no supera a 29.¿Cu´ales son los
n´
umeros enteros positivos que verifiquen esta condici´on?
20. La sexta parte de un n´
umero m´as la novena parte del mismo, tienen una suma mayor o igual a 15.¿Cu´al
es el n´
umero m´as peque˜
no queverifica esta relaci´on?

PROBLEMAS DE SOLEMNES
21. Sean a, b ∈ R+ , tales que a > b. Determine si la siguiente aseveraci´
on es verdadera o falsa. Justifique
claramente su respuesta.
a3 b − ab3
<0
b−a
22. Resuelva las siguientes inecuaciones:
(a)
(b)

x−3
≥5
2
x+2
5
x
−
<
2
x+3
2

23. Diversos estudios han determinado que en condiciones normales la sensaci´on t´ermica de un individuo
est´a...