GUIA 1 UNIDAD1 SISTEMAS LINEALES MATRICES

UNIVERSIDAD CATÓLICA “NUESTRA SEÑORA DE LA ASUNCIÓN”
SEDE REGIONAL ASUNCIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

ÁLGEBRA LINEAL
GUÍA DE EJERCICIOS NÚMERO 1
Prof. Carmen von Lucken de Huespe

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES – MÉTODO DE GAUSS – MATRICES.

1) Dado el sistema de ecuaciones

 ax − by = c

 bx + ay = d

encuentre las condiciones sobre a y b tales que el sistema tenga una únicasolución.
encuentre las condiciones sobre a y b tales que el sistema no tenga solución

a)
b)

2) Determinar los valores de k para que el sistema dado sea compatible determinado, y encontrar su solución

 x + 2 y + 4w = 2
 − x + 4 z − 2w = 0


 x + 2 y − 2 z + 4w = 2
 2 x + 10 y + k 2 w = k 2 − 3k + 4
3) Encontrar una ecuación para la familia de curvas con ecuación y = ax 3 + bx 2 + cx + d quecontiene a los
puntos (1,4), (2,1), (3,0).

4) Pruebe que el sistema homogéneo de ecuaciones lineales
soluciones si y sólo si ad − bc = 0 .

 ax + by = 0

 cx + dy = 0

tiene un número infinito de

5) Encuentre un valor (o valores) de a, si es que existe, tal que la pareja de ecuaciones

 x + 2y = 5

 3x + 6 y = a

tenga: a) infinidad de soluciones
b) una solución
c) ninguna solución

6) ¿Paraqué valores de k tendrá soluciones no triviales el sistema?

 x+ y+ z = 0

 2x + 3 y + 4z = 0
 3x + 4 y + kz = 0

7) Demuestra que si X 1 y X 2 son soluciones del sistema AX = 0 , entonces X 1 + X 2 es también
solución de AX = 0 .
8) Responde V o F: Si un sistema AX = B admite soluciones X 1 y X 2 , entonces admite infinitas
soluciones.
9) Suponga que cada matriz dada es una forma escalonadapor renglones de la matriz aumentada de un
sistema de ecuaciones lineales. Resuelva el sistema de ecuaciones:

 1 2 3 9


a) 0 1 4 9


 0 0 1 2
a + b

9) Si 
c − d

c + d  4
=
a − b   10

 1 3 − 2 4


b) 0 1 − 1 5


 0 0 0 0 
6
, determine a, b, c y d.
2

1
10)Sean A = 
2

2
1

3
;
4

2
E =  0
 3
a) C + E y E + C
e) ( 2 A) T
3
D= 
2

− 2
;
4 

1
B=  2
 3
− 4
1
2

5
4 ;
1

0
1 ;
2

−1

3
C =  4
 2

− 4
F = 
 2

b) 2 B + F
f) (C + E + F T ) T

1
1

3
5
3

5
, de ser posible, calcule:
3
c) 3D + 2 F
g) B ⋅ D

d) A ⋅ E y E ⋅ A

1

0
5
para que resulte la matriz B = 

1
6
2 2
 1
12) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema 2 A + B = 
;
 − 2 1 0
 − 4 − 3 − 2
A − 3B = 
− 1 
−1 0
11) Porqué matriz hay que multiplicar la matriz A = 
2

2
13) Sean las matrices A = 
0

−1
2

 1
1

; C=  0
3
 − 2

0
2
; B= 

− 1
2

2
?
3

− 2
2  justificar si son posibles los
0 

siguientes productos: a) ( A t B )C ; b) ( BC t ) A t

1

14) Hallar todas las matrices que conmuten con A = 
0

1
1

15) Muestre que la suma y diferencia de dos matrices diagonales es unamatriz diagonal.
16) Muestre que si una matriz es triangular superior e inferior, entonces es una matriz diagonal.
17) Sean A y B matrices diagonales de nxn, ¿ es cierto que

A ⋅ B = B ⋅ A ?. Justifique su respuesta.

0 3
 1
 − 3 1 4

18) Sea A = 
 4
2 2


− 1 5
 5
Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones elementales por renglón en A.
a) Intercambiar elsegundo y cuarto renglones.
b) Multiplicar el tercer renglón por 3.
c) Sumar (-3) veces el primer renglón al cuarto.
19) Determine una matriz X de 2x1 cuyas entradas no sean todas nulas, tal que

 4 1
A= 
.
 0 2
20) Muestre que toda matriz es equivalente por renglones a sí misma.

AX = 4 X , donde

21) Muestre que si A es equivalente por renglones a B, entonces B es equivalente por renglones aA.

a

22) Sea A = 
c

2

−1
23)Si A = 
1

b
, muestre que A es equivalente por renglones a I 2 si y sólo si ad − bc ≠ 0 .
d 
3
, determine A.
4
 3

24) Muestre que la matriz 
− 2

4 
es su propia inversa.
− 3

 x+ y+ z = 2

25) Determina y verifica el conjunto solución del sistema lineal  2 x − y − z = 1 utilizando:
 x + 2y − z = − 3

a) la matriz inversa , b) la...