Guía Cálculo

Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias Instituto de Ciencias F´ ısicas y Matem´ticas a

MATM121-C´lculo a
Gu´ general de todo el curso. ıa
06-01-2011 1 En cada caso, calcular o explicar por que el limite dado no existe. (a) lim (b) (c) (d) (e) x2 − 2x + 1 x→1 x3 − √ x (x − 1) 2 − x lim x→1 x2 − 1 |x| lim x→0 x x3 − 2x2 + 2x + 5 lim x→−1 x2 − 6x − 7 √ x−1 lim x→1 x − 1 (f) limsen(|x|).
x→0 x→0

(g) lim |cos(x)|. (h) lim sen(7x2 + 1).
x→23

1 − |1 − x| . x 1 (j) lim x→0 x 1 (k) lim x + x→0 x (i) lim
x→0

√ 1− x . x→1 1 − x √ 1 − 1 − x2 (m) lim . x→0 x √ 1 − 1 − x2 . (n) lim x→0 x2 (l) lim

2 En cada caso, calcular o explicar por que no existen los siguientes limites (a) lim x sen(1/x)
x→0

(h) lim π
x→ 4

cos(x + π ) 4 tg(x) − 1

(o) lim (x + 4) x .
x→−4sen(2 sen(3 sen(4x))) x 2 sen(3x) (c) lim x→0 7x sen(1 + cos(x)) (d) lim 2 x→π/2 x − πx − π 2 /4 (b) lim
x→0

(i) lim cotg(x) − cosec(x) x→0 √ 2 − 1 + cos(x) (j) lim x→0 sen2 (x) (k) lim (l) lim sen(πx)(1 − cos(x)) x→0 x2 sen(x)

(p) lim

x→0

sen(1/x) 1/x

tg(x − 2) (q) lim √ x→2 5x + 6 − 4 x4 − 1 . x→1 x − 1 3π − 3x tg(x). (s) lim 2 x→π/2 (r) lim (t) lim (u) lim x2 (3 + sen(x)) x→0(x + sen(x))2 tg2 (x) + 2x . x→0 x + x2

(e) lim

x→0

sen(|x|) |x|

(f) lim (g) lim

x − sen(x) x→0 x + sen(x) sen(10x) − sen(8x) x→0 x

Arcsen(x) x sen(2x) (m) lim . x→0 sen(3x)
x→0

(n) lim

1 − cos(x) . x→0 x2

3 Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes (a) lim f (x) = .
x→a x→a

(e) lim f (a + h) = .
h→0

(b) lim f (x) − = 0. (c) lim |f (x) − | = 0.x→a

(f) lim f (a − h) = .
h→0

(g) lim f (x3 ) = .
x→a x→0

(d) lim f (a + h) = .
h→0

(h) lim f (a − x) − = 0.

4 Encuentre un ejemplo de una funci´n para la cual lim f (x2 ) no exista, pero que lim f (x) si exista. Por que o x→a x→a esto no contradice el ejercicio anterior. 5 Mostrar que si lim
x→0

f (x) = x

y b = 0, entonces lim

x→0

f (bx) = b . ¿Que sucede si b = 0?x

1

6 Sea f : R → R definida por  3 x − 1 f (x) = √ − 1 x  9x Calcular lim f .
x→1

x2 x3 a + sen(πx) x ≤ 3

Determinar a ∈ R de manera que lim f exista. ¿a esta unicamente determinado? ´
x→3

9 Sea f : R → R definida por f (x) = ax − cos(x) x > π 3x − a(πx) x ≤ π
x→π

Determinar a ∈ R, si es que existe, de manera que lim f exista. ¿a y b est´n unicamente determinados? a ´ 10Sea f : R → R definida por f (x) = ax2 + 1 x > 2 ax + b x≤2
x→2

Determinar a, b ∈ R, si es que existen, de manera que lim f exista. ¿a esta unicamente determinado? ´ 11 De ejemplos de funciones f, g tales que (a) lim f exista, lim g no exista y lim f g = 0.
x→a x→a x→a x→a

(b) lim f exista, lim g no exista y lim f g = 1.
x→a x→a

(c) lim f exista, lim g no exista y lim f g no exista.
x→ax→a x→a

12 Sea f : R → R una funci´n y sea a ∈ R. Demuestre que o lim f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim . h→0 x−a h

x→a

13 Sean x1 < x2 las ra´ ıces de la ecuaci´n x2 − 2ax + b2 = 0, con a, b > 0 y a > b. Calcule los siguientes limites o x2 − x1 (a) limb→a √ . a−b (b) lim ax2 − b2 . b→a ax1 − b2 (c) lim ax2 − bx1 . b→a ax1 − bx2

14 Calcule, si es que existe, cada uno de lossiguientes limites √ √ x x2 − 1 (a) lim . (b) lim . √ x→ x→∞ 2x + 1 x + x3 + x5 2x + 4 (c) lim . x→∞ 3x + 1 2

(d) lim

x2 + 2x + 5 . x→∞ 2x2 − 6x + 1 √ 2x2 + 1 (e) lim . x→−∞ x+3

(f) lim (g) lim

x→∞

x . 4 − x2 x2 + a2 − x.

x→∞

15 Calcule, si es que existe, cada uno de los siguientes limites √ (a) lim (b) lim
x→∞

9x2 + 8x + 100 − √ 2x2 + 4 . x

9x2 + 9x − 100 .

(c)

x→−∞lim

2x2 + 4 . x

x→∞

16 Calcule, si es que existe, cada uno de los siguientes limites (a) lim (b) lim 1
x→0 x2 x→2 4

.

x . − x2 √ 1+x (c) lim . x→0 x x2 + x + 1 . (d) lim− x2 + 4 x→2

x2 − 4x − 2. √ 4 − x2 . (f) lim √ x→2− 6 − 5x + x2 x+1 (g) lim . x→0 |x| 2 3 (h) lim − . x→1 1 − x2 1 − x3 (e) lim
x→2+

17 Calcule, si es que existe, cada uno de los siguientes limites (a)...