Funciones Vectoriales

FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector, donde las
funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales.
Se representan tanto en el plano (r2) como en el espacio (r3) de la siguiente manera: r
r(t) = f(t)i + g(t)j

Plano

r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

Espacio

En el caso de ser una denotaciónvectorial, las mismas funciones se representarían tanto en el
plano como en el espacio del siguiente modo:
r(t) =
r(t) =
Cada coordenada depende del valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada una está
en función de t.
X = f (t), Y = g(t) , Z = h(t)
Si a cada punto de la recta le asignamos un vector de posición, ( r = xi + yj +zk ), así tendríamos
unvector para cada valor de t, o sea que “r” es a su vez una función de “t”.
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como
parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva.
Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En
ambos casos, el punto final del vectorposición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la
curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura
La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes
de t.
Ejemplo 1:
Para la recta con ecuaciones paramétricas:
X = 1 + 2t;

Y = 3 – t;

Z = 2 + 3t

La sustitución de los valores dado al parámetro ‘t’ de la función vectorial sedesarrollaría de la
siguiente manera:

Parámetro (t)

r(t)

Punto

-2

-3i+5j-4k

A(-3,5,-4)

-1

-i+4j-k

B(-1,4,-1)

0

i+3j+2k

C(1,3,2)

1

3i+2j+5k

D(3,2,5)

2

5i+j+8k

E(5,1,8)

DOMINIO
El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de sus funciones
componentes.
F(t) = (2t+1) + (3t^2)j + (t-3)k
Los dominios de las funciones componentes son:
F(t) = (2t+1) cuyo dominio esDomf = R
G(t) = (3t^2) cuyo dominio es Domg = R
H(t) = (t-3) cuyo dominio es Domh =R
Luego el dominio de la función vectorial es:
DomF = Domf ∩ Domg ∩ Domh
DomF = R ∩ R ∩ R = R

GRAFICA
La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describe los puntos
finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la
función.
Un punto de lacurva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde:
x = f(t) y = g(t) z = h(t)

Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el
parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.

PARAMETRIZACIÓN
Las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto P (x , y , z ) en el

espacio y es paralela a un vector v {a, b, c}, cuando v esdistinto a 0


Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores r - r0 y v son paralelos de modo
que r - r0 es un múltiplo escalar de v, esto es, r - r0 tv. En consecuencia, una función
vectorial de la recta L está dada por r(t) = r0 + tv. Esta última ecuación se expresa en las
formas alternas

Si:
son los vectores deposición de dos puntos distintos, entonces podemos considerar

Una funciónvectorial de la recta que pasa por los dos puntos es r(t) = r0 + t(r1 r0) o
r(t) = (1 - t)r0 + tr1.


Ejemplo 1
Encuentre una función vectorial para el segmento de recta del punto P0(3, 2, -1) al punto
P1 (1, 4, 5).


Solución: Los vectores de posición correspondientes a los puntos
dados son r0 {3, 2, -1} y r1 {1, 4, 5}. Entonces, una función
vectorial para el segmento de recta es

donde 0 t 1. Lagráfica de la ecuación
vectorial está dada en la gráfica.

Ejemplo 2
Grafique la curva C trazada por la función vectorial


Solución: Las ecuaciones paramétricas de la curva C son x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = t. Al
eliminar el parámetro t de las primeras dos ecuaciones,
x2 + y2 = (2 cos t)2 + (2 sent)2 = 22
notamos que un punto sobre la curva está en el cilindro circular x2 y2 4. Como se...

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