Funciones Ortogonales

FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER
10.1 Funciones ortogonales 10.2 Series de Fourier 10.3 Series de Fourier de cosenos y senos

10.4 El problema de Sturm-Liouville 10.5 Series de Bessel y de Legendre 10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 10.5.2 Serie de Fourier-Legendre Ejercicios de repaso

El lector ha estudiado ya, en el cálculo infiriitesimal,

los vectores en el espacio de dos

ytres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado y’es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funcionesdistintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida. El concepto de funciones ortogonales es fundamental en el estudio de los temas del siguiente capítulo y otros. Otro concepto que se vio en cúlculo infinitesimal fue el desarrollo de una función fcomo serie infinita de potencias de x - a, llamada serie depotencias. En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales.

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CAPíTULO

10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER

FUNCIONES

ORTOGONALES

H Producto interno W Funciones ortogonales W Conjunto ortogonal n Norha W Norma cuadrada n Conjunto ortonormal n Ortogonalidad con respecto a unajünción peso H Seriede Fourier generalizada

En matemhticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u .v, posee las propiedades siguientes:

ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u) = 0, si u = 0, y (u, u) > 0 si u f 0 iv) (u + v, w) = (ll, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.

9 (4 VI = CV, 4

Producto interno

Supongamos ahora quefi yf2 son funciones’defínidas en un intervalo [u, b].* Como unaintegrar del producto fi(x)fi(x) definida en el intervalo tambih posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición:

Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos 1aS funciones ortogonales en forma semejante:

*El intervalo tambih podría ser (--, -), [0, -),etcktera.

Sección 10.1 Funciones orbgonoles

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A diferencia del @lisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico.

Funciones

ortogonales

Las funcionesfi(x)

= x2 yfi(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, l] porque

(.fl Ji) = \yl fi(x>f2(4 dx
= I 1-lx2*x3dx=&6 1 =o. -1

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Conjuntos ortogonales
nes ortogonales.

Nos interesan principalmente los conjuntos infinitos de funcio-

función b, es IlbW = a es decir,

La norma, o longitud IIuII, de un vector u se uede expresar en términos del producto interno; concretamente, (u, u) = Ilull’, o bien Ilull= ?-- . La norma, o lon$tud generalizada, de una (u, II)

El número

(3)

sellama norma cuadrada de &. Si {4&)} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [u, b] y tiene la propiedad que Ilc#&)II = 1 par& n = 0, 1,2, . , . , se dice iúe {C&(X)} es un conjunto ortonormal en el intervalo.

Conjunto ortogonal de funciones

Demuestre que el conjunto ( 1, cos x, cos ti, . . .} es ortogonal en el intervalo [+r, T].

I

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CAPíTULO

10 FUNCIONES...