Funciones de calculo

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

1

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.1. FUNCIONES ELEMENTALES
2.1.1. Definici´n o
Se llama funci´n real de una variable real a cualquier aplicaci´n f : D −→ R, D ⊂ R, que hace o o corresponder a cada x ∈ D uno y s´lo un valor f (x) ∈ R. La funci´n se suele representar por y = f (x) o o donde x se llama variableindependiente e y se llama variable dependiente. Si f (x0 ) = y0 , se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la funci´n f , o que x0 es un origen de o y0 . La representaci´n en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0 , y0 ) se llama gr´fica de o a la funci´n f . o y y0 f La gr´fica de la funci´n f : D −→ R es: a o G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ D}

O

x0

x

El conjunto D ⊂ Rformado por todos los valores x ∈ R en los que la funci´n f est´ definida se llama o a dominio de f , y se representa por D(f ). Cuando no se especifica el dominio de la funci´n, se entiende o que es el conjunto de todos los n´meros reales para los que la funci´n est´ bien definida. u o a

2.1.2. Ejemplos
o 1. El dominio de la funci´n y = x2 − 1 es D = R, y la image I = [−1, +∞). √ 2. El dominio dela funci´n y = x es D = [0, +∞), y la imagen es tambi´n I = [0, +∞). o e o 3. Al estar especificado, el dominio de la funci´n: f (x) = 2x − 1 , 0 < x ≤ 3 es D(f ) = (0, 3], y la imagen I(f ) = (−1, 5].

2.1.3. Crecimiento local y global
Sea f : D −→ R y x0 ∈ D. Se dice que la funci´n f es creciente en x0 si existe un δ > 0 tal que: o x0 − δ < x < x0 =⇒ f (x) ≤ f (x0 ) x0 < x < x0 + δ =⇒ f (x0 ) ≤f (x) An´logamente, se dice que la funci´n f es decreciente en x0 si existe un δ > 0 tal que: a o x0 − δ < x < x0 =⇒ f (x) ≥ f (x0 ) x0 < x < x0 + δ =⇒ f (x0 ) ≥ f (x) Cuando, en las definiciones anteriores, las desigualdades entre los valores de la funci´n son estrictas, se o dice que la funci´n es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en x0 . o Si la funci´n s´lo est´ definida a unode los lados del punto, se dice que es (estrictamente) creciente o o o a (estrictamente) decreciente si lo es por el lado en que est´ definida. a Globalmente, se dice que f es creciente en un subconjunto del dominio A ⊂ D si para cualesquiera x1 , x2 ∈ A se cumple que: x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) y, se dice que f es decreciente en A ⊂ D si para cualesquiera x1 , x2 ∈ A se cumple que: x1 < x2 =⇒ f(x1 ) ≥ f (x2 ) Como en el caso local, si las desigualdades son estrictas el crecimiento o decrecimiento se dice estricto.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

2

2.1.4. Ejemplo
La funci´n cuya gr´fica aparecen en la figura es: o a y • • • • • • • • • Creciente en a, x0 , x2 , d y e. Estrictamente creciente en a, x0 y x2 . Decreciente en x1 y e.Estrictamente decreciente en x1 . Creciente en el intervalo [a, b] y en [c, e]. Estrictamente creciente en [a, b] y en [c, d]. Decreciente en [b, c] y en [d, e]. Estrictamente decreciente en [b, c]. Constante en [d, e].

O

a x0 b x1 c x2 d

e x

El crecimiento global en intervalos puede causar confusi´n con el crecimiento local en sus extremos: la o funci´n de la figura es globalmente creciente enel intervalo cerrado [a, b], incluyendo al punto b, y no lo o es localmente en b, ya que en el crecimiento local hay que mirar a los dos lados del punto.

2.1.5. Acotaci´n y extremos o
Sea f : D −→ R una funci´n real de variable real. o • Se dice que f est´ acotada superiormente si existe un n´mero real M , llamado cota superior, a u tal que f (x) ≤ M para cualquier x ∈ D. La menor de las cotassuperiores se llama supremo y, si se alcanza en alg´n punto del dominio, m´ximo. u a • Se dice que f est´ acotada inferiormente si existe un n´mero real m, llamado cota inferior, a u tal que f (x) ≥ m para cualquier x ∈ D. La mayor de las cotas inferiores se llama ´ ınfimo y, si se alcanza en alg´n punto del dominio, m´ u ınimo. a a u • Se dice que f est´ acotada cuando lo est´ superior e...