Funcion real de una variable real

Función real de una variable real
El concepto de función genero mucha polémica entre los sabios de los siglos XVIII y XIX, y hubo que esperar hasta que Dirichlet zanjo el asunto en el año 1854, llamado función real de una variable real a toda correspondencia f:R a Rosea una función real de variable es una ley o criterio “f” que asocia números reales con números reales. Para expresar que elnúmero real x ϵ Rinicial puede ser el que nos de la gana, se dice q “x” es una variable independiente;y para expresar que el numero real f(x) ϵ Rfinal que “f” asocia a “x” escapa por completo a nuestro control,se dice que el numero real que denotamos “f(x)” es una variable dependiente.
1. DOMINIOEl dominio son todos los valores que puede tomar la variable x en determinada función y el rango sontodos los valores de y. |
Lo primero que hay que estudiar en una función es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o está definida: Df= xR:  y=f(x)}
Hay funciones que se crean artificialmente dando por definición el dominio (funciones definidas a trozos) o bien se tratan de funciones que modelizan una situación real que no tiene sentido para ciertos valores de x aunquematemáticamente se pueda calcular.
Las funciones polinómicas están definidas en todo R.
Las funciones racionales (cociente de polinomios), no están definidas en los valores que anulan el denominador. |
Ejemplo:
y=(3x2-5x-6)/(x2-x-2) no está definida ni para x=-1 ni para x=2. Es decir Df=R - {-1,2}
Las funciones irracionales (con radicales) y= g(x)m/n están definidas en todo R si el índice nes impar y sólo para los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero si el índice n es par.

Gráfica de una función

En matemáticas, la gráfica de una función:

es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los paresordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.
Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si lafunción es continua, entonces la gráfica formará una curva.
En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.
El concepto de gráfica de una función se generaliza ala gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.
OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la funcióndefinida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas enun mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por
(f.g)(x) = f(x).g(x)
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
COMPOSICION...