Examen de alemdra algebra

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL 14 de septiembre de 2009.Nombre*:_______________________________ Calif: ______ * Iniciando por primer apellido Responde con orden y limpieza. Explica con claridad tus respuestas y justifícalas. Examen con valor a 8 puntos. Cada problema vale 2 puntos.La tarea vale 2 puntos. 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales para los ángulos desconocidos ; y donde 0 2 ;0 2 ;0 2sen cos + 3 tan 2 tan = 3 = 2 = 9

4sen + 2 cos 6sen

3 cos+ tan

Sean x = sen ; y = cos ; z = tan , entonces el sistema se reescribe como 2x y + 3z = 3 2z = 2

4x + 2y 6x

3y + z = 9

resolviendolo, por cualquier método obtenemos x = 1; y = 1; z =0; de donde sen = 1; cos = 1; tan = 0, en consecuencia, = 2 ; = ; = 0. 2. Si A 2 Mn (R) es simétrica, demostrar que A2 y 2A2
t

3A + I son simétricas.

Como A es simétrica, A = At . (A2 ) = At At= AA = A2 , es decir, A2 es simétrica. t t Ahora, (2A2 3A + I) = 2 (A2 ) 3At + I t = 2A2 3A + I, con lo cual queda probado la simetría de 2A2 3A + I.

1

3. Demostrar que si la suma de loselementos en cada renglón de una matriz A 2 Mn (R) es cero, entonces jAj = 0. Sugerencia: Considerar el producto AX; donde X 2 Mnx1 (R) tal que todos sus elementos son 1. 3 2 3 2 3 2 a11 a12 ::: a1n 1 0 7 76 7 6 6 6 0 7 6 a21 a22 ::: a2n 7 6 1 7 7 6 7 6 7 Sea A = 6 6 ::: ::: ::: ::: 7 ; X = 6 ::: 7 entonces AX = 6 ::: 7 = 0nx1 tenemos 4 5 4 5 4 5 a a ::: ann 1 0 2 n1 3 n2 1 6 7 6 1 7 7 que X = 6 6 :::7 6= 0 es solución del sistema homogéneo AX = 0, de tal forma que 4 5 1 dicho sistema tiene una solución no trivial, por lo tanto jAj = 0. 4. Si 1 I + At 3 Encontrar A. 2
1

6 =4 0 1

2

1 3 02 2 1 2

3 7 5

6 7 1 Sea B = 4 0 5, así I + 3 At 1 0 2 t 1 3 (B I) ; A = 3 (B 1 I) :

1 3

2 2 1

3

1

= B, I + 1 At = B 1 ; 1 At = B 3 3

1

I; At =

Calculando la inversa...