Euler

El método de reducción de orden visto para las ecuaciones lineales homogéneas, puede aplicarse igualmente a las ecuaciones lineales completas [pic].
La sustitución y = y1(x)u donde y1(x) es unasolucion particular de la correspondiente ecuación homogénea, reduce la ecuación completa a otra completa de primer orden, en la variable dependiente [pic]

Ejemplo 14:

Resolver la ecuación:x2y’’ – x(x + 2)y’ + (x + 2)y = x3, buscando por inspección una solución particular de la correspondiente homogénea.

Es evidente que y1 = x es una solución particular de la correspondientehomogénea.
Efectuando el cambio y = xu, resulta:

y = x u
y’ = u + x u’ En la ecuación completa:
y’’ = 2u’ + x u’’

x2 [2u’ +xu’’] – x (x +2) (u + xu’) + (x + 2) xu = x3

Luego: x3 u’’ – x3u’ = x3, es decir: u’’ - u’ = 1

Tomando u’ = v , es (’ - ( = 1. Luego : ( = C1 ex – 1

Por tanto: u = C1 ex – x + C2. Es decir: y = C1 x ex – x2 + C2 x

También podríaresolverse la correspondiente homogénea usando el método de reducción de orden y buscando luego una solución particular de la completa por el método de variación de las constantes.

Ejemplo 15:

Resolverla ecuación: [pic] sabiendo que una solución particular de la correspondiente homogénea es y1 = sen x y una particular de la completa yp = cos x

Evidentemente la solución general buscada tendrála forma: [pic]
Basta buscar otra solución particular y2 de la homogénea. Para ello se empleará la reducción de orden en la homogénea, pues ya se conoce una solución particular de la completa.Cambio en la homogénea: [pic]. Resulta:
y = u sen x
y’ = u cos x + u’ sen x
y’’= 2u’cosx – u sen x + u’’senx

Sustituyendo en la ecuación L(y( = 0:

(sen 3 x)u’’ + (2 sen2 x cos x – 3sen2x cos x) u’ = 0 ( (sen x)u’’ – (cos x)u’ = 0
u’ = v (sen x)v’ - (cos x)v = 0 [pic]

v = a·senx Una solución particular será: v = sen x . Luego u1 = cos x
Y por tanto :...