Estructura De Anillos

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
EXTENSION TRUJILLO- NUCLEO BOCONO











[pic]









FACILITADOR PARTICIPANTES

Ldo. Freddy FigueredoAraujo Mireily
Mejía Mirla
Mejía Zuleima


Bocono, Noviembre 2011

INTRODUCCIONAnillo

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto; de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma.

Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elementoneutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1) El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

Junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación. La razón por la cual estas tres cosas forman un anillo, es porque cumplen con las siguientes propiedades:

1. Los númerosenteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existealgún número entero b, tal que a + b = 0.
5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe unelemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).


Elementos destacados en un anillo

1. Elemento cero: denotado por 0. Es el neutro para la suma.

2. Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple para todo elemento a del anillo, se llama elementounitario

3. Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, b es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de así Así mismo, c es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de así. Un elemento a − 1 se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de a si a − 1 es inverso porla izquierda de a e inverso por la derecha de a

4. Elemento inversible, o elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.

5. Divisor del cero: un elemento es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a•b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c•a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo estanto por la derecha como por la izquierda.

6. Elemento regular: un elemento de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.

7. Elemento idempotente: es cualquier elemento e del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que (esto se suele escribir como e2 = e). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es...