espe

Escuela Politécnica del Ejército
Cálculo
Nombre: Vanessa Rodriguez
Fecha: 17/10/13
1. Dadas a, b, calcular qué valores deben tomar para que la función sea derivable en x = 3, si

si x ≤ 3
ax+ b

√
f (x) =
 2x + 3 − 3

si x > 3
x−3
Desarrollo
Se debe encontrar dos ecuaciones para poder encontrar a y b. Una primera ecuación la determinamos a partir de la igualdad de loslímites por la izquierda y por la derecha de 3
l´ f (x) = l´ f (x)
ım
ım
x→3−

x→3+

ım
a) l´ f (x) = l´ (ax + b) = 3a + b
ım
x→3
x→3−
√
2x + 3 − 3
b) l´ + f (x) = l´
ım
ım
x→3
x→3
x
√√ −3
( 2x + 3 − 3) ( 2x + 3 + 3)
2x + 3 − 9
2
1
√
√
l´
ım
= l´
ım
= l´ √
ım
=
x→3
x→3 (x − 3)( 2x + 3 + 3)
x→3
(x − 3)
3
( 2x + 3 + 3)
2x + 3 + 3
Con lo cual se obtiene
1
3
Unasegunda ecuación la obtenemos a partir del hecho de la existencia de la derivada por la
derecha y la izquierda de 3
ım
l´ + f (x) = l´ − f (x)
ım
3a + b =

x→3

x→3

a) l´ − f (x) = l´ (a) =a
ım
ım
x→3

x→3



d
x→3 dx

b) l´ + f (x) = l´
ım
ım
x→3

l´
ım

x→3

√

√

2
2x + 3 + 3

−2
√
2x + 3( 2x + 3 + 3)2

=


2
 −2 √

2 2x + 3 

= l´  √ım

x→3  ( 2x + 3 + 3)2 

−2
1
=−
3 × 36
54

Así se obtienen las soluciones:
a=−

1
54

b=

7
18

2. Encontrar los puntos del círculo cuya ecuación es x2 + y 2 = 25 en la quela tangente es paralela
a la recta 4x = 3y.

1

Desarrollo
La ecuación del círculo puede ser separada en dos funciones, una para el arco superior y otra
para el arco inferior:

√
 y = 25− x2 (arc sup)
y 2 = 25 − x2 ⇒
 y = −√25 − x2 (arc inf )
Además, la pendiente de la recta y = 4/3x + b es m = 4/3.
Derivando la ecuación (arco sup) encontramos el punto de contacto de arriba
1
−xy = √
(−2x) = √
2
2 25 − x
25 − x2
− x1
16
y (x1 ) =
= 4/3 ⇒
(25 − x2 ) = x2
1
1
2
9
25 − x1
x2 = 16
1

⇒

x1 = −4,

⇒

400 − 16x2 = 9x2
1
1

y1 = 3

Derivando...