Esime zacatenco "la integral" guia de estudio calculo diferencial e integral

En este 5to. Modulo referente a la
Integral el alumno podrá comprender
lo concerniente a la antiderivada: los
teoremas que la fundamentan y sus
técnicas de integración.

MODULO 5
LA INTEGRAL

Grupo asesor: Matemático Juan Alfaro Yllescas, M
en C Adelia Copas Ocio, M en I Genoveva Barrera
Godines.

Francisco Muñoz Apreza

INTEGRACION

Un poco de historia del Cálculo
Desde lostiempos remotos de las culturas Babilónica y Mesopotámica las ideas de
tratar cantidades pequeñas fascinó a los sabios. Ya Arquímides ( 287 – 212 a.c.) tuvo
intuición sobre problemas de cálculo integral, en su método de exhaustión que consistía
en sumar enormes cantidades pequeñas.
Blaise Pascal (1623 – 1662) con sus ideas influyó en la creación del cálculo y el inglés
Isaac Newton en 1665 fijólas principales ideas del cálculo diferencial e integral.
En este periodo de tiempo el cálculo se fue desarrollando hasta que el Alemán Gottgried
Wilhelm Leibniz en 1673 creó el cálculo diferencial e integral, a él se le debe el que a
estos cálculos les nombre Cálculo Diferencial y Cálculo Integral así como las
representaciones dy/dx y el de
El cálculo entonces se fue fortaleciendo en susbases conceptuales, Abel bolzano
impulsó el cálculo mediante una definición del concepto de límite, mientras que Johann
Bertonoulli (1667 – 1748 ) abordó problemas del cálculo como los puntos de inflexión,
lo ngitud de curva y fijó las técnicas de integración.
Tuvieron que pasar muchos años hasta que Guillaume F. A. L´Hopital publicó en 1696
el primer libro de texto de cálculo diferencial eintegral , además publica su Regla de
L´Hopital tan importante para la evaluación de los límites de la forma 0/0 .
Mientras esto acontece María Gaetana Agnesi (1718 – 1799) publicó un libro de texto
de cálculo
El cálculo entonces siguió progreso enormemente y Karl Weierstrass (1815 – 1897 )
alemán estableció la derivada e integral por términos , a él se debe el rigor matemático
usado en laactualidad, además Henri León Lebesque (1875 – 1941 ) trata la integral en
“n” dimensiones y las integrales múltiples y Georg Friedich Bernhard Riemann (1826 –
1866 ) definió la integral definida.

1

LA CONSTRUCCIÓN DE LA INTEGRAL
El problema que habremos de tratar es el cálculo del área bajo una cuerva

Y

Área

x1

x2

X

Para ello contamos con la recta y las diferentes formasen que se relacionan:

Rectángulo

Triángulo

De estas dos figuras geométricas conocemos perfectamente la forma de calculan sus
áreas:
bh
Del triángulo
la base por altura sobre 2 y del rectángulo bh .
2
Dividamos el área bajo la curva en dos: área a1 que tiene la forma de un rectángulo y
área r1 que se asemeja a un triángulo, pero que no lo es

Y
r1

a1
x1

x2

X

2Ahora dividamos el área bajo la curva en dos rectángulos cuyas áreas son
a1 , a2 y dos áreas de dos figuras que se asemejan a triángulos rectángulos r1 , r2 ,
pero que aún no lo son.

Y
r1

r2
a1

a2

x1

x2

X

Ahora dividamos el área bajo la curva en cuatro áreas de rectángulos cuyas áreas son
a1 , a2 , a3 , a4 y cuatro áreas de figuras que se parecen a triángulos rectángulos
r1, r2 , r3 , r4 , pero que aún no lo son.
Y

r1

r2

r3

a1

a2

r4

a3
a4

x1

x2

X

Si esta forma de dividir el área buscada la hacemos tantas veces posibles tendremos que:
Y

r1

rn

x1

a1

an

x2

X

3

n

a1  a2  ...  an   ai

y

i 1

n

r1  r2  ...  rn   ri
i 1

pero vemos que los triángulos rectángulos son cada vez máspequeñitos, conforme
vamos formando cada vez más rectángulos y las áreas de estos triángulos tienden a ser
n

cero, por lo que A   ai
i 1

Definición de integral indefinida.
La integral de una función

 f ( x)dx

se define como:

 f ( x)dx = F (x ) + C
Donde F es una anti-derivada de f(x) y c es una constante arbitraria.

Es importante el que F sea una antiderivada, porque...