el pensamiento y el lenguaje en la matematica

1

EL PENSAMIENTO y EL LENGUAJE
EN LA MATEMÁTICA
Prof. Robinson Arcos

Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela

2

TABLA DE CONTENIDOS

1

EL PENSAMIENTO CIENTÍFICO PRETENDE EXPLICAR LA
REALIDAD

2

LA VERDAD MATEMÁTICA Y EL MÉTODO AXIOMÁTICO
8

2.1 Intuición y deducción
2.2 Método Inductivo y Método Deductivo
2.3 Definiciones, Conceptos Primitivos yAxiomas
Problemas y Ejercicios 1

3

9
10
14
19

EL PENSAMIENTO Y EL LENGUAJE EN LA MATEMÁTICA

3.1 Proposiciones Simples
3.2 Proposiciones Compuestas y Operadores Lógicos
3.3 Proposició n Conjuntiva
3.4 Proposición Disyuntiva
3.5 Proposición Negativa
3.6 Proposición Condicional
3.7 Implicación
3.8 Proposición Bicondicional
3.9 Variantes del Condicional
Problemas y Ejercicios 24

4

21

23
24
25
26
27
28
32
33
34
36

FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES
39

4.1 Proposiciones Abiertas
4.2 Gráfica de Proposiciones

40
43

3
4.3 Funciones Proposicionales y Cuantificadores
4.4 Negación de Cuantificadores
Problemas y Ejercicios 3

5

LA DEMOSTRACIÓN. MÉTODOS GENERALES DE
DEMOSTRACIÓN

6.1 Método de Demostración Directa
6.2Proposiciones de Existencia. Contraejemplo
6.3 Método de Demostración Indirecta
6.4 Método de Demostración por el Principio de Inducción
Problemas y Ejercicios 4

7

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

7.1 Concepto de Conjunto. Relación de Pertenencia
7.2 Subconjuntos. Conjuntos Iguales
7.3 Operaciones con Conjuntos
7.4 Pares Ordenados. Producto Cartesiano de Conjunto
Problemas yEjercicios 5

8

48

ARGUMENTOS VÁLIDOS

5.1 Tautología, Contradicción y Falacia

6

43
45

BIBLIOGRAFÍA

54

54

61

62
65
68
72
74

80

82
84
84
93
95

101

4

1
EL PENSAMIENTO CIENTÍFICO PRETENDE EXPLICAR LA
REALIDAD

La capacidad de soslayar una dificultad, de
seguir un camino indirecto cuando el directo no
aparece, es lo que coloca al animal inteligentesobre el torpe, lo que coloca al hombre por
encima de los animales más inteligentes, y a los
hombres de talento por encima de sus
compañeros, los otros hombres.
GEORGE POLYA

Un principio básico en la ciencia, es que ninguna conjetura debe aceptarse sin motivos que la
justifiquen. En las ciencias empíricas, que incluyen las Ciencias Naturales, la Medicina y la
Sociología, los motivos deaceptación de una conjetura consisten en la concordancia entre las
predicciones basadas en la teoría y la evidencia obtenida por un experimento o por una observación
sistemática. En la Psicología, la Sociología y la Economía, tales aceptaciones están basadas en la
Estadística, y en otras ciencias como la Teología y la Historia, las “verdades” están basadas en
aproximaciones que, en el mejor delos casos representan una probabilidad más o menos válida.
En realidad, toda ciencia actúa mediante el enunciado y prueba de conjeturas (explicación
tentativa dada a un fenómeno observado), y para probarlas utiliza un método adecuado, el
Método Científico. Tomemos un ejemplo interesante de fenómeno de migración de especies,
estudiado por Ecólogos y Naturalistas:
El salmón plateado, incuba sushuevos en las aguas de los arroyos del área
Noroeste de la costa pacífica de los Estados Unidos. Al nacer, los pececillos
nadan corriente abajo hasta llegar al Océano Pacífico, donde permanecen hasta
por cinco años creciendo y alcanzando su madurez sexual. Luego, respondiendo a
un estímulo no determinado, regresan a poner sus huevos a los arroyos de agua
dulce donde nacieron.

5
He aquíun fenómeno observado que despierta curiosidad. ¿Cómo pueden encontrar los
peces con exactitud el arroyo donde nacieron?. Para lograrlo, algunos de estos peces tienen que
nadar sobre caídas de agua de considerable altura y cubrir distancias tan largas que llegan hasta el
estado de Idaho (aproximadamente 1.500 Km).
Los científicos han establecido innumerables conjeturas para explicar este...