El equilibrio de nash

El Equilibrio de Nash
A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias , que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por las ganancias  expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, como regla general, lamayoría de las salidas, si no la totalidad, no son comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumento de ganancias para unos y una baja para otros.
Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se puede calificar de “local” en el sentido deestudiar separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le acuerda un estatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nash estableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se hablaentonces de la existencia de equilibrios de Nash .
Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que está en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un cambio unilateral de estrategia . Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y sin que ello tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde.
Enla definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se puede mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de varios jugadores.
El equilibrio de Nash ocupaun lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugadorinteresado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.
Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios deNash.
Definición 2: Un escenario es un equilibrio de Nash del juego si para todo jugador ; y para toda estrategia ; se verifica .

El Dilema del Prisionero
Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas.Sólo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco, pero ellos han prometido no delatarse. Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La estrategia"lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para acusar al compañero. Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa.
Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que es condenado el preso X o Y respectivamente según las estrategias que hayan elegido cada uno de ellos.
Dilema del prisionero 
Matriz de Pagos 
(años de cárcel) |...