El decameron

Analicemos, brevemente, el comportamiento de algunos polígonos. Con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares pondemos enlosar una superficie.

 Triángulo
 Lado = 4 u
 Perímetro= 12 u
 Área = 6,928 u 2
 Cuadrado
 Lado = 3 u
 Perímetro = 12 u
 Área = 9 u 2
 Hexágono
 Lado = 2 u
 Perímetro = 12 u
 Área = 10,392 u 2
 Con el mismo perímetro, la mayor superficiese recubre con un hexágono

Las abejas ..., en virtud de una cierta intuición geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con elmismo gasto de material. 
Pappus de Alejandría
Las abejas construyen sus panales como prismas hexagonales regulares apuntados en el fondo por tres rombos inclinados respecto a la horizontal un ángulodeterminado para que, almacenando la misma cantidad de miel, tengan la mínima cantidad de materia (cera); es decir, el área sea mínima. 
Este problema de las abejas ya admiró a los clásicos y fueestudiado por importantes matemáticos, entre otros Colin McLaurin (1698-1746) y Gabriel Cramer (1704-1752) obteniendo para dicha inclinación valores de 70º 32´ y 70º 31´respectivamente.Observando la figura vemos que la abeja construye el rombo GBHF de modo que el volumen que quita del prisma, el GABF, equivale al que añade, el HBJF. Pero aunque el volumen del panal equivale al del prismahexagonal, sin embargo el área total del panal es la menor posible para tal propósito; si la abeja hubiese dado al panal la forma de prisma, éste no habría perdido capacidad, pero habría sido necesariamás cera para su construcción. En la naturaleza rige la ley del mínimo/máximo. 
Vamos a calcular el ángulo x de inclinación del rombo que hace mínima dicha área.
Identidades   
 AB = a aristabásica del prisma, que por tratarse de un problema afín se puede sustituir por la unidad de longitud; luego lo haremos)
 x = HKJ ángulo de inclinación que deseamos determinar
 KJ = a/2 apotema...