ejecicios guia modulo 1 fundamentos

1. Dado el vector ⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ determinar la
longitud de su proyección sobre la recta definida por
los puntos (2, -2, -3) y (3, 0, -1).
Seguidamente integramos tomando los límites de
integración de acuerdo con las condiciones del
enunciado

Sol.:
La proyección del vector ⃗ sobre la recta r definida
por los puntos (2, -2, -3) y (3, 0, -1) viene dada por
la expresión:

∫
obteniéndose:

)

(

)

(

(⃗

(

)

y finalmente
(

)

)

3. Una partícula cuyo movimiento es analizado
desde un sistema de referencia inercial S, describe
una trayectoria dada por ⃗( )
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ -.
Desde otro sistema de referencia S´, la trayectoria
observada está dada por ⃗ ( )
⃗⃗
⃗⃗ .
Decir si este sistema S´ es o no inercial. Calcular la
velocidad del movimiento de S´, relativo a S.

Y seguidamente:
⃗⃗

)

de dondedonde ⃗⃗ es el vector unitario que define la
orientación de la recta r; dicho vector se obtiene a
partir del vector ⃗ que definen los puntos (2, -2, -3)
y (3, 0, -1):
(

(

|

proy ⃗ r = | ⃗ ⃗⃗ |

⃗

∫

)

proy ⃗⃗r = |⃗⃗ ⃗⃗ |
2. Una partícula se encuentra en el instante t = 0 en
la posición x = x0 con una velocidad v = v0. El
movimiento que describe la partícula es rectilíneo,
con una aceleracióndada por a = -kv3, en donde k
es una constante. Determinar la expresión que
define la dependencia de la velocidad con la
posición.

Sol.:
En primer lugar, para estudiar el carácter inercial
del sistema S´ debemos hallar la aceleración de la
partícula en el sistema inercial S:
⃗

⃗

La aceleración instantánea es:

⃗⃗

Hallamos ahora la aceleración medida desde el
sistema S´
⃗
⃗
⃗⃗

Pero según elenunciado

donde hemos supuesto, al realizar la derivación
sucesiva, que los vectores unitarios ⃗⃗ ⃗⃗ no
dependen del tiempo. Debemos suponer, además,
los ejes correspondientes de los triedros S y S´son
paralelos; en tal caso:

luego

Multiplicamos y dividimos el primer miembro por dx:

⃗

⃗

Concluimos que el sistema S´ es inercial.
En esta expresión identificamos el cociente en dx/dt
con la velocidadinstantánea, quedando

La relación entre los vectores posición de la
partícula en ambos sistemas de referencia es:
⃗

Separamos variables y simplificamos:
1

⃗

⃗

⃗ es el vector posición del origen de S´ respecto de
S. Derivando obtenemos la relación entre sus
velocidades:
⃗

⃗

El trabajo realizado por una fuerza no conservativa
que actúa sobre una partícula desplazándola desde
la posición 1 ala posición 2 es igual a.

⃗
a) La diferencia de energía potencial entre las
posiciones 1 y 2.
b) La diferencia de energía cinética entre las
posiciones 1 y 2.
c) La diferencia de energía mecánica entre las
posiciones 1 y 2.

La velocidad de S´ respecto de S es:
⃗
⃗
y como ⃗⃗

(

⃗

⃗⃗

⃗
⃗⃗ )

⃗⃗

Sol.:

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

El trabajo que realizan todas la fuerzas que actúan
sobre una partícula es iguala la variación de su
energía cinética:

5. Un cuerpo en reposo en el origen de un sistema
de referencia inercial explota, formándose tres
fragmentos. Dos de ellos tienen igual masa y se
desplazan según la dirección positiva de los ejes
OX y OY, respectivamente, con la misma velocidad
de 30 m/s. El tercer fragmento tiene una masa triple
que la de cada uno de los otros dos. Calcular la
velocidad deeste tercer fragmento

El trabajo total W procede, en general, del que
realizan las fuerzas conservativas W c y el que
realizan las fuerzas no conservativa W´:

Sol.:
Aplicamos el principio
momento lineal:

de

⃗

conservación

El trabajo que realizan las fuerzas conservativas, es
igual a la suma, con signo cambiado, de las
variaciones de la energía potencial de cada campo
conservativo:

del

⃗El momento lineal del sistema ⃗
explosión es cero, por consiguiente:
⃗

⃗

antes de la
De este modo el trabajo que realizan las fuerzas no
conservativas queda

⃗

donde ⃗
⃗ son los momentos lineales de los
fragmentos
iguales
y
que
se
dirigen,
respectivamente en las direcciones OX y OY:
⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗

El segundo miembro es la variación de la energía
mecánica
de la partícula:

Esta relación...