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Métodos de integración

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Métodos de integración
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que , lo cual, por el teoremafundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[1] .

Generalidades
El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular de la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchasfunciones elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva pude resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados acontinuación.

Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere unaconfeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas. Ejemplo Calcular la integral indefinida . es . Por tanto:

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de

Ejemplo Calcular la integral indefinida . . De este modo, la solución del problema

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que es .

No obstante, puesto que la función

estadefinida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así

que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

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Funciones analíticas
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

Método de integración por sustitución
El método de integración porsustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.Ejemplo #1
Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza (1) Ahora se necesita sustituir también Se tiene que Se despeja

con (

):

para que la integral quede sólo en función de

:

por tanto derivando se obtiene y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o porel contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso,como se hizo : (límite inferior) (límite superior) Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

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Ejemplo #2
Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: sustitución conveniente resulta ser , Entonces (por Teorema de la suma y...