ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones seríael siguiente:


El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente enprogramaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Índice
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• 1 Introducción
• 2 Sistemas lineales reales
o 2.1 Representación gráfica
o 2.2 Tipos de sistemas
 2.2.1 Algoritmo para determinar si un sistema es compatible
 2.2.2 Sistemas compatibles indeterminados
 2.2.3 Sistemas incompatibles
o 2.3 Métodos de solución a sistemas de ecuacioneslineales
 2.3.1 Sustitución
 2.3.2 Igualación
 2.3.3 Reducción
 2.3.4 Método gráfico
 2.3.5 Método de Gauss
 2.3.5.1 Eliminación de Gauss-Jordan
 2.3.6 Regla de Cramer
 2.3.7 Algoritmos numéricos
• 3 Solución de sistemas lineales en un anillo
• 4 Véase también
• 5 Enlaces externos
Introducción[editar • editar código]
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y nincógnitas puede ser escrito en forma normal como:


Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:


Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna delongitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz Ase llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.
Sistemas lineales reales[editar • editar código]
En esta sección se analizan laspropiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales.
Representación gráfica[editar • editar código]


La intersección de dos planosque no son paralelos coincidentes es una recta.
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En lossistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será elpunto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tienesolución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán lascoordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Tipos de sistemas[editar • editar código]

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes...