Ecuaciones cuadráticas

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COMPETENCIA: Interpretar y resolver con seguridad, situaciones problemáticas escolares y sociales, utilizando las ecuaciones de segundo grado.

CONTENIDOS:

1. Ecuaciones de segundo grado:
■ Ecuación general:

Ax2 + bx + c = 0

■ Ecuaciones incompletas:

- Puras ax2 + c = 0

X= +/- [pic]

- Mixtas ax2 + bx = 0

x ( a x+ b )= 0

■ Métodos de solución:
− por factoreo
− por complementación de cuadrados

−fórmula general: [pic]

- Discriminante Δ = b2 – 4ac

ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Estimadas estudiantes, el orden de los contenidos es el que se muestra, pero resulta que todas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, sean estas completas

( ax2 + bx + c = 0 ) o incompletas ( ax2+ c = 0 y x ( a x+ b ) = 0 ) se pueden resolver usando la fórmula

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Por tanto en este resolveremos las ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula y cuando nos presentemos a clases explicaré otros métodos
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplosería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
El procedimiento consiste en llevar la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0, cuyas letras (coeficientes a, b, c ) son las correspondientes en la fórmula
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La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz.
Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c; y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raízcuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.
Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución.
Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización. Estos casos serán estudiados alregreso a clases
Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:
• Dos raíces reales distintas
• Una raíz real (o dos raíces iguales)
• Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:|Δ = b2 - 4.a.c |

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas
Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.
Ejemplos. Verificación de las soluciones
Acontinuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.
1) Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:
|[pic] |= |[pic]|= |[pic] | |

Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:
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Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:
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