Drivadas

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

4.1.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Derivada de y = Sen ( x )
La derivada de y = Sen(x) se puede obtener como:

dy
Sen( x + h) − Sen( x)
= Lim
dx h→0
h
Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente estudiados:
•
•

Sen(h)
Cos (h) − 1
=1
• Lim
=0
h→0
h→0
h
h
Sen( x + h) =Sen( x)Cos (h) + Cos ( x) Sen(h)
Lim

Por lo tanto desarrollando el límite se tiene:

dy
Sen( x + h) − Sen( x)
= Lim
dx h→0
h
dy
Sen( x)Cos (h) + Cos ( x) Sen(h) − Sen( x)
= Lim
dx h→0
h
dy
Sen( x)(Cos (h) − 1) + Cos ( x) Sen(h)
= Lim
h →0
dx
h
dy
Cos (h) − 1
Sen(h)
+ Lim Cos ( x)
= Lim Sen( x)
h →0
h →0
dx
h
h
Sen(h)
Cos (h) − 1
dy
+ Cos ( x) Lim
= Sen( x) Limh→0
h→0
h
h
dx
dy
= Sen( x) × 0 + Cos ( x) × 1 = Cos ( x)
dx
De donde:

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

d
Sen( x ) = Cos ( x )
dx

Definición de derivada

Aplicando suma de arcos

Factorizando el numerador

Suma de Limites

Sacando las constantes fuera
del límite

Por los límites conocidos

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

Si u es unafunción diferenciable de x, es posible aplicar la regla de la cadena así:

dy dy du
=
dx du dx
en donde y = Sen u para obtener como resultado:

d
du
( Sen u ) = Cos u
dx
dx
Ejemplos:
1.

d
d
( Sen 2 x ) = Cos 2 x ( 2 x ) = 2Cos 2 x
dx
dx

2.

d 2
d
d
( x Sen ( x ) ) = x 2 dx ( Sen ( x ) ) + Sen ( x ) dx ( x 2 ) = x 2Cos ( x ) + ( 2 x ) Sen ( x )
dx

d
d
x ( Sen ( x ) ) −Sen ( x ) ( x ) xCos x − Sen x
( )
( )
d Sen ( x )
dx
3.
= dx
=
2
2
dx
x
x
x

d
d
2
x 2 ( Sen 2 ( x ) ) − Sen 2 ( x ) ( x 2 )
d Sen ( x )
dx
dx
=
=
4.
2 2
dx
x2
(x )
=

x 2 ( 2 Sen ( x ) Cos ( x ) ) − ( 2 x ) Sen 2 ( x )

=
x4
2 x 2 Sen ( x ) Cos ( x ) − 2 xSen 2 ( x )
=
=
x4
2 x ( xSen ( x ) Cos ( x ) − Sen 2 ( x ) ) 2 ( xSen ( x ) Cos ( x ) − Sen 2 ( x ) )=
=
x3
x4

Derivada de y = Cos ( u )
Para obtener esta derivada hay que tener presente las siguientes identidades:

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

Cos u = sen

π
2

Sen u = Cos

−u

π
2

−u

Luego:

d π
π
π
d
d
sen − u = cos − u
−u =
Cos u =
dx 2
2
2
dx
dx
= Sen u

du
− du
= − Sen u
dxdx

De donde se puede concluir:

d
(Cos u ) = − Sen u du
dx
dx
Ejemplos:

d
d
( Cos 3x ) = −Sen 3x ( 3x ) = −3Sen 3x
dx
dx
d
d
d
2.
( 2 x4 + 3Cos ( x ) ) = dx ( 2 x4 ) + dx ( 3Cos ( x ) ) = 8x3 − 3Sen ( x )
dx
1.

3.

d 2
d
d
( x Cos ( x ) ) = x2 dx ( Cos ( x ) ) + Cos ( x ) dx ( x2 ) = − x2 Sen ( x ) + 2 xCos ( x )
dx

d
d
(1 − Cos ( x ) ) dx ( Sen ( x ) ) − (Sen ( x ) ) dx (1 − Cos ( x ) )
Sen ( x )
d
=
=
4.
2
dx 1 − Cos ( x )
1 − Cos ( x ) )
(

(1 − Cos ( x ) ) ( Cos ( x ) ) − ( Sen ( x ) ) ( Sen ( x ) ) =
(1 − Cos ( x ) )
Cos ( x ) − Cos ( x ) − Sen ( x ) ( Cos ( x ) − 1)
=
=
=
(1 − Cos ( x ) )
(1 − Cos ( x ) )
( −1) (1 − Cos ( x ) )
1
=
=
(1 − Cos ( x ) ) (1 − Cos ( x ) ) ( Cos ( x ) − 1)
=

2

2

2

2

Derivada dey = Tan ( x )

4.- Derivadas Funciones Trigonométricas

2

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

d
(Tan x ) = d Sen x
dx
dx Cos x
d
(Sen x ) − Sen x d (Cos x )
d
dx
dx
(Tan x ) =
2
dx
Cos x
Cos x Cos x − Sen x Sen x
d
(Tan x ) =
dx
Cos 2 x
2
2
d
(Tan x ) = Cos x − 2Sen x = 1 2 = Sec 2 x
dx
Cos x
Cos x
Cos x

Definición función tangenteDerivada de un cociente

Resolviendo la derivada

Agrupando términos

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a
la función y = tan u se puede concluir:

d
du
Tan u = Sec 2 u
dx
dx
Ejemplos :
1.

2.

d
d
Tan ( 5 x ) = Sec 2 ( 5 x )
5 x = 5Sec 2 ( 5 x )
dx
dx
d 2
d
d
( x Tan ( x ) ) = x 2 dx (Tan ( x ) ) + Tan ( x ) dx ( x 2 ) =...