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FACULTAD DE INGENIERÍA ­ UBA 

ÁLGEBRA II 

Segundo cuatrimestre  2008 

PRIMER EXAMEN PARCIAL 
18 de octubre 2008 (Primera oportunidad) 
TEMA 2 
RESOLUCIÓN 

Aclaración: El alumno debe tener presente que siempre hay más de una forma correcta 
de resolver un ejercicio.  La resolución aquí presentada es una de las tantas posibles. 
EJ ERCICIO 1: 
(a)  Hallar  todos  los valores  de a  reales  para  los  que  existe  una  transformación  lineal 
T  : P  ® Â 3  que verifique:
2 
1  T (  + a 2 t + 3  2 ) = [3  0  a ] t 
)  1 
t 
2  T (  + 2  ) = [1  a
)  2  t 

- 1  t 
]

]
3  T (  + a t - 3  2 ) = [- 2  a 1  t 
)  1 
t 
Indicar en qué casos es única. 
(b)  Considere a = 0 y halle bases para  Nu(T) e Im(T). RESOLUCIÓN a): Para que quede definida una única transformación  lineal  mediante  las 
ecuaciones  dadas,  los  polinomios  p(  ) = 1 + a t + 3  2 ,  q  t ) =  2 + 2  y  r (  ) = 1 - a t - 3  2 
t 
t 
(
t 
t 
t 
deben  constituir  una  base  de  P2   ,  es  decir:  deben  ser  linealmente  independientes  (pues 
Dim  P  ) = 3 ). A partir de la expresión de estos polinomios en términos de la base canónica 
(  2
de  P2  , resulta que debe ser 
é1  a 2
ê
Det ê2  2 
ê1  a
ë

ù
3 
ú
0 ú = -6 + 6  - 6 + 6  2  = 6 a 2  + a - 2  = 6  a + 2  a - 1  ¹ 0 
a
a
( 
)  ( 
)( 
) 
ú
- 3 
û

Por lo tanto, para a Î Â - {- 2 , 1 }  existe una única transformación lineal  T  : P  ® Â 3  que 
2 
verifica 1), 2) y 3). 
Para  a  = 1 las condiciones 1), 2) y 3) son
1  T (  + t + 3  2 ) = [3  0  1  t 
)  1 
t 
]2  T (  + 2  ) = [1  1  - 1  t 
)  2  t 
]

]
3  T (  + t - 3  2 ) = [- 2  1  1  t 
)  1 
t 
Sumando  miembro  a  miembro  1)  y  3)  se  tiene,  utilizando  la  linealidad  de  T: T (  + 2  ) =
2  t 
1  2   t  , igualdad  incompatible con la condición 2). Por lo tanto, para  a  = 1 no existe la 
]
transformación lineal en cuestión. 

[1 

Para  a  = -2, las condiciones 1), 2) y 3) son

2

]
1  T (  + 4  + 3  2 ) = [3  0  - 2  t 
)  1  t  t 
]
2  T (  + 2  ) = [1  - 2  - 1  t 
)  2  t 
]
3  T (  - 2  - 3  2 ) = [- 2  - 2  1  t 
)  1  t  t 
En este caso, sumando  miembro a  miembro 1)  y  3) se tiene, utilizando  la  linealidad de  T:
T (  + 2  ) = [1 - 2  - 1  t  , es decir: la condición 2) es consecuencia de 1) y 3). Por lo tanto, 
2  t 
]
completando{ 1 + 4  + 3  2 , 1 - 2  - 3  2  }  a  una  base {1 + 4  + 3  2 , 1 - 2  - 3  2  , a + bt + ct 2 } 
t t 
t  t 
t t 
t  t 
3 
de  P2   puede  definirse  una  transformación  lineal  T  : P  ® Â que  satisface  1)  2)  y  3) 
2 
mediante
]
1  T (  + 4  + 3  2 ) = [3  0  - 2  t 
)  1  t  t 
2  T (  + bt + ct 2 ) = v 
)'  a 

]
3  T (  - 2  - 3  2 ) = [- 2  - 2  1  t 
)  1  t  t siendo  v un vector cualquiera de   3 . En resumen, la respuesta es: para a Î  - {- 2 , 1 } 
existe una única transformación  lineal  T  : P  ® Â 3  que  verifica 1), 2) y 3); para  a  = 1 no 
2 
existe ninguna transformación lineal  T  : P  ® Â 3  que verifique las tres condiciones 1), 2) y 
2 
3); para  a  = -2 existen infinitas transformaciones lineales  T  : P  ® Â 3 que verifican 1), 2) 
2 
y 3). 
RESOLUCIÓN b): Para  a  = 0 tenemos
p 
6 ( t 8
7) 
1  T (  + 3  2 )  = [3  0  0  t 
)  1  t 
]
q 
6( t ) 
7
8
2  T (  + 2  )  = [1  0  - 1  t 
)  2  t 
]
r  ) 
6 ( t 8
7
3  T (  - 3  2 )  = [- 2  0  1  t 
)  1  t 
]

]
]
La  imagen  de  T  está  generada  entonces  por  los  vectores [3  0  0   t  , [1 0  - 1  t  y
t 
[- 2 0  1  , que son linealmente dependientes, pues
]

[3

0  0  t + 3 1  0  - 1  t + 3 [- 2  0  1  t = [0  0  0   t 
] [
]
]
]

(*) 

 

Por lo tanto, una base de la imagen de T  puede ser, por ejemplo: { [3 0  0  t , [1  0  - 1  t }. 
]
]
Ahora, del teorema de la dimensión aplicado a T:  3 =  Dim(  (  )) + Dim  Nu (  )) se deduce 
IM  T 
(  T 
que la dimensión del núcleo de T...