Distribución Gamma

Distribución gamma

Una variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su densidad de probabilidad está dada por

>0, >0 son los parámetros para este modelo.

Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de ,

() es la función Gamma:
Si es un entero positivo, entonces

() = ( -1)!

Demostración

u = x-1 du = (-1)x-2 dx Para integrar por partes
dv = e-x dx v = -e-x

Se obtiene
= ( - 1)( -1)
Sucesivamente
() = ( -1)(-2)(-3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

= E[X] = , 2 = V[X] = 2.

Demostración para
= = =
Mediante la sustitución y = x/
=
=
Con la definición de la función Gamma:
==

Relaciones

La fórmula parala función de densidad gamma contiene dos parámetros α y β. El parámetro β llamado parámetro de escala, refleja el tamaño de las unidades en que se mide y es parámetro α se conoce como parámetro deforma, si se modifica su valor cambia la forma de la distribución gamma, esto nos permite obtener funciones de densidad de muchas formas distintas para modelar distribuciones de frecuencia relativa dedatos experimentales.

Cuando α = 1, la función de densidad gamma se denomina distribución exponencial. Esta importante función de densidad se emplea como modelo para la distribución de frecuenciasrelativa del tiempo entre llegadas a un mostrador de servicio (centros de cómputo, caja de súper mercado, clínica hospitalaria, etc.) Cuando la probabilidad de que un cliente llegue en cierta unidad detiempo es igual a la probabilidad de que llegue en cualquier otra. La función también se utiliza como modelo para la duración de equipos o productos industriales cuando la probabilidad de que un...