didactica 1

Conjuntos Conexos
Un conjunto conexo es un subconjunto G ⊂ Rn que no puede ser descrito como uni´n disjunta de 2
o
conjuntos abiertos.
Intuitivamente, un conjunto conexo formado por una sola pieza “que no se puede dividir”.
Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es inconexo, disconexo o no conexo.

Ejemplo: Consideremos el conjunto G = Q el conjunto de los n´meros racionales vamos aver que
u
G no es conexo
Dem:
√
√
1) Sea A1 = {x ∈ R|x < 2} y B1 = {x ∈ R|x > 2} se tiene entonces que A1 y B1 son abiertos disjuntos y su union es G ∴ G no ser´ conexo.
ıa
Ejemplo: Consideremos el conjunto G = N el conjunto de los n´meros naturales vamos a ver que
u
G no es conexo
Dem:
1) Sea A1 = {x ∈ R|x < 3 } y B1 = {x ∈ R|x > 3 } se tiene entonces que A1 y B1 son abiertos
2
2disjuntos y su union es contitne a G ∴ G no ser´ conexo.
ıa
Proposici´n: Demuestre que los unicos subconjuntos de la recta real que son conexos son los puno
´
tos y los intervalos.
Dem:
1) Todo subconjunto X de R que no sea ni un punto ni un intervalo es no conexo ya que ∃ a, b ∈ X y
c ∈ R y a < c < b y c ∈ X, entonces X = {(−∞, c) ∩ X} ∪ {(c, ∞) ∩ X} y por tanto X no ser´
ıa
conexo.
2)Un punto es conexo.
3) Todo intervalo es conexo
Sea X un intervalo y supongamos que X es no conexo, entonces X = A1 ∪ B1 A1 ∩ B1 = ∅ A1 = B1 = ∅
A1 = X ∩ A,
B1 = X ∩ B
con A, B abiertos de R como A1 = ∅
∃a1 ∈ A1 y como
B1 = ∅ ∃b1 ∈ B1 a1 = b1 a1 < b1 , sea a =sup{x ∈ A1 |a1 ≤ x < b1 } =sup{A1 ∩ [a, b)}.
El supremo ∃ pues A1 ∩ [a1 , b) esta acotado, adem´s a ∈ [a1 , b]
a
pues X es unintervalo.
1

⇒

a1 ≤ a ≤ b1

⇒

a ∈ X

Vamos a ver que a ∈ A1 y a ∈ B1 .

a) Si a ∈ A1 ⊂ A, entonces a < b1 pues b1 ∈ B, luego a ∈ A ∩ (−∞, b)
⇒ ∃ ε > 0 tal que [a − ε, a + ε] ⊂ A ∩ (−∞, b) ⇒ a < a + ε < b1 a + ε ∈ X pues X es un intervalo
a + ε ∈ X a + ε ⊂ A ⇒ a + ε ∈ A1 = A ∩ X y a1 ≤ a < a + ε < b1
y a no puede ser supremo del conjunto anterior.

b) Si a ∈ B1 ⊂ B, entonces a1 ⇒ x ∈ X, por ser X un intervalo, luego
[a − ε, a] ⊂ X y a − ε, a] ⊂ B ⇒ [a − ε, a] ⊂ B1 = X ∩ B
⇒ a − ε es una cota superior del conjunto anterior A1 ∩ [a1 , b1 ] y como a − ε < a luego a no puede ser
el supremo de dicho conjunto.

Teorema: La totalidad del espacio Rn es conexo.
Dem:
De no ser as´ existir´ 2 conjuntos abiertos ajenos no vac´ A,B cuya uni´n ser´ Rn .
ı,
ıan
ıos
o
ıa
Sea x ∈ A y y ∈ B y considere el segmento S que une a x con y; es decir S = {x + t(y − x), t ∈ [0, 1]}.
Sean A1 = {t ∈ R|x + t(y − x) ∈ A}, B1 = {t ∈ R|x + y(y − x) ∈ B}.
´
A1 ∩ B1 = ∅ A1 = ∅ = B1 y proporcional una inconexi´n de S CONTRADICCION
o
Ya que el segmento S, se puede ver como un intervalo, y los intervalos son conjuntos conexos.Teorema: Si A y B son subconjuntos conexos y no est´n separados, entonces A ∪ B es conexo.
a
Dem:
Sea X = A ∪ B y supongamos que X no es conexo. Entonces existen S y T = ∅,
S ∪ T A ⊂ S ´ A ⊂ T o bien B ⊂ S ´ B ⊂ T .
o
o
Si A ⊂ S entonces B ⊂ S.
´
∴A∪B ⊂S y T =∅
CONTRADICCION.

S∩T = ∅

X =

o
Teorema: Sea G un conjunto abierto en Rn . G es conexo si y s´lo si cualquier par de puntosx, y
en G se pueden unir por medio de una curva poligonal que cae enteramente en G.
Dem:
Suponga que G no es conexo y que A, B es una disconexi´n de G. Sea x ∈ A ∩ G y y ∈ G ∩ B y sea
o
P = {L1 ,.....,Lk } una curva poligonal que cae enteramente en G que une x con y.
2

Sea k el n´mero natural m´s peque˜o tal que el punto terminal zk−1 de Lk ∈ A ∩ G, el punto teru
a
n
minal zk ∈ B ∩ G.Si A1 y B1 se definen como:
A1 = {t ∈ R| zk−1 + t(zk − zk−1 ) ∈ A ∩ G}.
B1 = {t ∈ R| zk−1 + t(zk − zk−1 ∈ B ∩ G}.
Entonces A1 y B1 son abiertos ajenos no vac´ de R. De donde el par A1 , B1 forman una disıos
´
conexi´n del intervalo unitario.
o
CONTRADICCION.
∴ Si G no es conexo, ∃ 2 puntos de G que no se pueden unir por medio de una curva poligonal.
Ahora suponga que G es abierto conexo...