diagonalizacion

Tema

3
´ n de
Diagonalizacio
matrices
3.1

Matrices semejantes. El problema de la diagonalizaci´
on

Definici´
on 3.1 Diremos que dos matrices A y B de orden n son semejantes
cuando existe una matriz P de orden n invertible, es decir, |P | = 0, tal que
B = P −1 A P.

Ejemplo 3.1 Sean A =

1 2
0 1

yB=

son matrices semejantes ya que existe P =

P −1

 1
 2
AP =

1
2

−

1 
2 


1
2

1
02
1

0
−1
1
−1
1 1
−1 1

1
2
1
1

. Se verifica que A y B
tal que

=

0 1
−1 2

= B.

Proposici´
on 3.1 Si A, B ∈ Mn (R) son matrices semejantes (B = P −1 A P ),
entonces se verifica:
1. |A| = |B|,
2. B k = P −1 Ak P para todo k ∈ N, es decir, Ak y B k son, tambi´en, matrices
semejantes.

29

30

Diagonalizaci´
on de matrices

3.2

Autovalores y autovectores de una matriz
cuadrada

Definici´
on3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos
umero
 queun n´
x1
 x2 


λ es un autovalor o valor propio de A si existe X =  .  ∈ Mn×1 ,
 .. 
xn
 
0
 0 
 
X =  . , tal que A X = λ X.
 .. 
0
Definici´
una matriz
cuadrada de orden n. Diremos que X =

on 3.3 Sea A 

x1
0
 x2 
 0 


 
 ..  ∈ Mn×1 , X =  .. , es autovector o vector propio de A asociado
 . 
 .
xn
0
al autovalor λ si se verifica que A X = λ X.
Ejemplo 3.2 Sea la matriz A
1 1
0 2

A=
se verifica que
1
0

1
2

1
1

=2

1
1

,

por tanto podemos asegurar que 2 es un autovalor de la matriz A y que
es un autovector asociado al autovalor 2.

3.3
3.3.1

C´
alculo de autovalores y autovectores
C´
alculo de autovalores: polinomio caracter´ıstico

Proposici´
on 3.2 Sea A una matriz cuadrada deorden n. Se verifica que:
λ es un autovalor de A si y s´
olo si det(A − λ I) = 0,
donde I representa la matriz unidad de orden n.

1
1

31

3.3 C´
alculo de autovalores y autovectores

Definici´
on 3.4 A la expresi´
on pA (λ) = det(A − λ I) se le llama polinomio
caracter´ıstico de la matriz A. A la ecuaci´
on pA (λ) = det(A − λ I) = 0 se le
denomina ecuaci´
on caracter´ıstica de la matriz A.
Portanto, podemos decir que los autovalores de una matriz A son las ra´ıces de
su polinomio caracter´ıstico o las soluciones de su ecuaci´on caracter´ıstica.


1 2
Ejemplo 3.3 Hallar los autovalores de la matriz A =  −1 3
0 1
Para hallar sus autovalores tendremos que resolver su ecuaci´on
En este caso:
1−λ
2
0
−1
3−λ
1
0
1
1−λ


0
1 .
1
caracter´ıstica.

= (1 − λ)2 (3 − λ)+ (1 − λ) = (1 − λ)[(1 −λ)(3 − λ)+ 1] =
= (1 − λ)(λ − 2)2 = 0.

Por tanto, los autovalores de A ser´
an: λ1 = 1 y λ2 = 2.
Si λ es una ra´ız m´
ultiple del polinomio caracter´ıstico con orden de multiplicidad
k, se dice que λ es autovalor m´
ultiple de A y que su multiplicidad algebraica es
k. Cuando k = 1, diremos que el autovalor λ es simple.
Ejemplo 3.4 En el ejemplo anterior tenemos que λ1 = 1 es un autovalor simple
yque el autovalor λ2 = 2 es un autovalor de multiplicidad algebraica 2.

3.3.2

C´
alculo de autovectores

Sea
una matriz cuadrada de orden n y sea λ un autovalor de A. Si X =
 A
x1
 x2 


 ..  ∈ Mn×1 es un autovector de A asociado al autovalor λ, entonces X es
 . 
xn
soluci´on no trivial del sistema homog´eneo

  
x1
0
 x2   0 
  

(A − λ I)  .  =  .  .
 ..   .. 
xn

0De aqu´ı se deduce que para calcular los autovectores asociados a λ lo que hay que
hacer es resolver el sistema homog´eneo asociado (A − λ I)X = Θ, que, por ser λ

32

Diagonalizaci´
on de matrices

autovalor de A (det(A − λ I) = 0), siempre va a ser compatible indeterminado
con soluciones distintas a la trivial. Cada una de las soluciones no triviales es
un autovector asociado a λ.


1 2 0Ejemplo 3.5 Hallar los autovectores de la matriz A =  −1 3 1 .
0 1 1
Para dicha matriz vimos que sus autovalores eran λ1 = 1 y λ2 = 2 (doble).
Tenemos que calcular los autovectores asociados a ambos autovalores:
λ1 = 1:



  
x1
0
1−1
2
0
1   x2  =  0 
(A − I) X = Θ ⇐⇒  −1 3 − 1
0
1
1−1
x3
0

2x2 = 0,
−x1 + 2x2 + x3 = 0,
cuyas soluciones

 son x1 = x3 , x2 = 0. Por tanto, los...