demostración de formulas de derivacion

Matemática I

DEMOSTRACIÓN DE FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
A continuación se demuestran algunas fórmulas de derivación para su
comprensión del procedimiento.
En la demostración de las fórmulas derivación, se aplica la fórmula de
incrementos:

dy
f ( x  x )  f ( x )
 Límite
dx
x
x  0

1)

Derivada de la función identidad

yx

dy
( x  x)  x
x
 lim
 lim
dx
x
x∆x0

∆x0

dy
1
dx
2)

yx

2

dy
 x  x   x2
 lim
dx
x
2

∆x0
2

2

2

dy
2 xx  x
x  2 xx  x  x
 lim
 lim
dx
x
x
∆x0

∆x0

dy
x (2 x  x)
 lim
 lim 2 x  x
dx
x
∆x0

dy
 2x
dx

∆x0

2

Matemática I

3)

f ( x)  x 3

dy
f ( x  x)  f ( x )
 lim
dx
x
∆x0

dy
( x  x) 3  x 3
 lim
 3x 2
dxx
∆x0
4) Derivada de una Constante.

f ( x)  c

c : cons tan te

dy
f ( x  x)  f ( x )
cc 0
 lim
 lim

0
dx
x
x
x
∆x0

∆x0

5) Derivada de una Constante por x

f (x)  c x

dy
c ( x  x)  cx
cx  cx  cx
 lim
 lim
dx
x
x
∆x0

∆x0

dy
cx
 lim
c
dx
x
∆x0

Recordar que:

h ' (x) 

6) Derivada de un producto
Sih(x)

=

dh
dy
También y ' (x) 
dx
dx

f (x ) g (x)

Entonces

h' ( x )  f (x ) g ' ( x )

+

g (x) f ' ( x )

Matemática I

Demostración:

dy
f ( x  x )  f ( x )
 lim
dx
x

Aplicando

∆x0

h' ( x )  lim

f ( x  x) g ( x  x)  f ( x )  f ( x) g ( x )
x

∆x0
Artificio: Quitando y Aumentando f ( x  x )g( x )f(xx)g(xx)f(xx)g(x)f(xx)g(x)f(x)g(x)
x

h' ( x )  lim
∆x0
Factorizando:

h' ( x )  lim

f ( x  x)g ( x  x)  g ( x)  g ( x) f ( x  x)  f ( x)
x

∆x0

g ( x  x )  g ( x ) 
 f ( x  x)  f ( x) 
 g ( x) 


x
x





h' ( x )  lim f ( x  x) 

∆x0

h' ( x ) 

f (x)

g ' ( x) + g (x)

f ' ( x)

7) Derivada del cociente de dos funciones:
Si

h( x ) 

f ( x)
g( x)

Donde

f ( x)  g ( x)

Entonces se va ha demostrar que:

dy g ( x ) f ' ( x) - f (x) g ' (x)

dx
g ( x)2
Aplicando la fórmula general de derivación por incrementos:

Matemática I

dy
f ( x + Δx ) - f ( x )
= lim
dx
Δx

x  0
Procedimiento:

h( x) =

a) Siendo

Entonces

f ( x)
g ( x)

h( x + x ) =

f ( x + x )
g ( x + x )

b) Reemplazando:

f(x + Δ x) f (x)
dy
g (x + Δ x) g (x)
= lim
dx
Δx

Δx  0
c) Realizando las operaciones en el numerador y ordenando:

dy
g (x) f (x + Δx) - f (x) g(x + Δx)
= lim
dx
Δx g ( x + Δx) g ( x)
d) A la expresión anterior, se puede disminuir y aumentar la expresión:
g(x)  f (x ) sin que ésta varíe (Artificio)

dy
g (x) f (x + Δx) - g (x) f (x) - f (x) g (x + Δx) + g (x) f (x)
= limdx
Δx g ( x + Δx ) g ( x)

Δx  0
e) Factorizando los términos:

g( x ) f ( x+Δ x ) - g( x ) f ( x ) =

g( x )

- f ( x ) ( g x+Δ x ) + g( x ) f ( x ) = - f ( x )

[ f ( x+Δ x ) -

f ( x )]

[g( x+Δ x ) -

g( x )]

Matemática I

[

dy
g (x)
= lim
dx

f (x + Δx) - f (x) ] - f (x) [ g (x + Δx) - g (x)
Δx g ( x + Δx ) g ( x)

Δx  0
f) Luego ordenando con Δx a cadafactor:

g (x)

dy
= lim
dx
Δx  0

[

f (x + Δx) - f (x)
] - f (x) [ g (x + Δx) - g (x)
Δx
Δx
g (x + Δx) g (x)

]

g) Llevando al límite, el numerador y denominador respectivamente:
Numerador
Primer factor del numerador:

lim

g (x)

[

f (x + Δ x) - f (x)
Δx

] = g ( x)

f '( x)

Δx  0
Segundo factor del numerador:

lim

f (x) [

g (x + Δ x) - g (x)
] =f ( x) g'(x)
Δx

Δx  0
Denominador

lim

g (x + Δ x) g (x)

=

g (x + 0) g (x) = g (x) g (x) =

[ g (x) ]

2

Δx  0
h) Luego reemplazando los valores hallados, queda finalmente:

dy g( x ) f ' ( x ) - f (x) g' (x)
=
[g( x )]2
dx

Se demuestra que si la función está formada por el cociente de dos
funciones diferentes, su derivada se calcula,...