Cuadricas Matematica

Cuádricas
Se llaman Cuádricas a los lugares geométricos de todos
los puntos del espacio cuya ecuación es un polinomio de
segundo grado en x, y, z de la forma:

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0

Px 2 + Qy 2 + Rz 2 = S Cuádricas con Centro

Px + Qy = pz Cuádricas sin Centro
2

2

Cuádricas con Centro
Elipsoide

x2 y2 z2
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c

Ecuación Canónica

Ecuacióndesplazada
( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( z − l ) 2
+
+
= 1 con centro en (h; k; l)
2
2
2
a
b
c

Trazas sobre los planos Coordenados
Las trazas con cada uno de los planos coordenados son
Elipses respectivamente:

Cuádricas con Centro
Esfera
Si en la ecuación del Elipsoide a = b = c entonces se
obtiene la ecuación de la Esfera:

x +y +z =r
2

2

2

2

Ecuación Canónica

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l) 2 = r 2 Ecuación desplazada
con centro (h; k; l)

Cuádricas con Centro
Hiperboloide de dos hojas

2

2

2

x
y
z
Ecuación Canónica
− 2 + 2 − 2 =1
a
b
c

( x − k ) 2 ( y − h) 2 ( z − l ) 2
Ecuación desplazada
−
+
−
=
1
a2
b2
c2
con centro (h; k; l)

Trazas sobre los planos coordenados
Sobre planos xy e yz
Se obtienen Hipérbolas

Sobre plano xz
No existe intersección

Trazas con planosparalelos al plano xz
Las trazas con planos paralelos al plano xz, de la forma
y=k serán Elipses:

Cuádricas con Centro
Hiperboloide de una hoja

2

2

2

x
y
z
+ 2 − 2 =1
2
a
b
c

Ecuación Canónica

Ecuación desplazada
( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( z − l ) 2
+
−
=1
2
2
2
con centro (h; k; l)
a
b
c

Intersecciones con los Ejes
Eje x
y=0 z=0 ⇒

x2
=1 ⇒
2
a

x = ±a ⇒

y2
=1 ⇒
2
b

y = ±b ⇒ B (0, b,0)B´(0,−b,0)

A(a,0,0)

A´(−a,0,0)

Eje y
x=0 z=0 ⇒

Eje z
x=0

z2
y = 0 ⇒ − 2 =1
c

No Existe intersección

Trazas sobre los planos Coordenados
Sobre plano xy
z=0 ⇒

x2 y2
+ 2 = 1 Elipse
2
a
b

Sobre plano xz
y=0 ⇒

x2 z2
− 2 =1
2
a
c

Hipérbola de eje focal x

Sobre plano yz
x=0 ⇒

y2 z2
− 2 = 1 Hipérbola de eje focal y
2
b
c

Secciones con planos paralelos a los planos
coordenados
Planos paralelos al planoxy
z=k

⇒

x2 y2 k 2
+ 2 − 2 =1 ⇒
2
a
b
c

x2 y2
k2
+ 2 = 1+ 2
2
a
b
c

Elipses ∀k

Secciones con planos paralelos a los planos
coordenados
Planos paralelos al plano xz

y=k

Si

⇒

x2 z2
k2
x2 k 2 z2
− 2 = 1− 2
+ 2 − 2 =1 ⇒
2
2
a
c
b
a
b
c

k2
1− 2 > 0 ⇒
b

k < b Hipérbolas de eje focal
paralelo al eje x

Si
k2
1− 2 = 0 ⇒
b

k =b ⇒

x z
− =0 ∨
a c

x2 z2
x z x z
− 2 = 0 ⇒  − ⋅ +  = 0 ⇒2
a
c
a c a c

x z
+ =0
a c

Dos rectas que se cortan

Planos paralelos al plano xz
Si

k2
1− 2 < 0 ⇒
b

k >b

Hipérbolas de eje focal
paralelo al eje z

Hiperboloide de una hoja
Aplicación a la construcción
Torres de enfriamiento de una central nuclear

Cuádricas sin Centro
Paraboloide Elíptico

x2 y2
+ 2 = cz
2
a
b

Paraboloide Elíptico de eje z
C>0

( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
= c( z − l )Ecuación desplazada
2
2
a
b

Trazas sobre los planos Coordenados
Sobre plano xy
La intersección es un punto.
Para planos paralelos si existe intersección se obtienen
Elipses.

Sobre plano xz e yz
Se obtienen parábolas.

Paraboloide Elíptico
Aplicación a la construcción y al diseño

Cuádricas sin Centro
Paraboloide Hiperbólico

2

2

x
y
− 2 = cz
2
a
b

Paraboloide Hiperbólico de eje z
C<0

( x− h)
( y − k)
−
= c( z − l )
2
2
a
b
2

2

Ecuación desplazada

Intersecciones con los ejes
Eje x
y=0 z=0 ⇒

x2
=0 ⇒
2
a

x = 0 ⇒ O(0,0,0)

Eje y
y2
x=0 z=0 ⇒ − 2 =0 ⇒
b
Eje z
x=0

y=0 ⇒

cz = 0 ⇒

y = 0 ⇒ O(0,0,0)

z=0 ⇒

O(0,0,0)

Trazas sobre los planos Coordenados
Sobre plano xy

z=0 ⇒

x2 y2
x y x y
− 2 = 0 ⇒  − ⋅ +  = 0 ⇒
2
a
b
a b a b

b
y=± x
a

Dos rectas que se cortan en elorigen

Sobre plano xz

y=0 ⇒

x2
= cz ⇒
2
a

2

x
z= 2
ca

Parábola con eje
focal z

Trazas sobre los planos Coordenados
Sobre plano yz
2

y
x = 0 ⇒ − 2 = cz ⇒
b

y2
z=− 2
cb

Parábola con eje focal z

Secciones con planos paralelos a los planos
coordenados
Planos paralelos al plano xy

z=k
Si

⇒

k > 0 Hipérbolas con eje focal sobre eje y

Si k = 0 ⇒

Si

x2 y2
− 2 = ck
2
a
b

b
y=± x
a...