Continuidad

Continuidad
Se dice que la función f es continua en a si y sólo si se cumplen las 3 condiciones siguientes:
f(a) existe;
lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 existe;
lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗
Si una o más de estastres condiciones no se cumplen para a, se dice que la función f es discontinua en a.
La discontinuidad puede ser removible o esencial, si existe lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗 pero f es discontinua en ano se cumple la dondición (i) o la condición (ii) y por lo tanto es removible ya que se puede redefinir a f en a de modo que la continuidad es eliminada. La redefinición debe serf(a)=lim┬(x→a)⁡f(x). La discontinuidad es esencial si no existe〖 lim〗┬(x→a)⁡f(x)

Continuidad Lateral
Una función f es continua por la derecha en el punto a si:
lim┬(x→a+)⁡〖f(x)=f(a)〗
Y f es continua por la izquierdasi
lim┬(x→a-)⁡〖f(x)=f(a)〗
f Es continua en a si y sólo si f es continua por la derecha y es continua por la izquierda en a.


Continuidad en Intervalos
Una función f es continua en el intervaloabierto (a , b) si f es continua en todo punto de este intervalo.
Una función f es continua en el intervalo cerrado [a ,b] si f es continua en el intervalo abierto (a , b) y f es continua a laderecha en a y continua a la izquierda de b.
Una función f es continua en el intervalo [a ,b)┤ si f es continua en el intervalo abierto (a , b) y f es continua por la derecha en a.
Una función f escontinua en el intervalo ├ ( a ,b ] si f es continua en el intervalo abierto (a , b) y f es continua por la izquierda en b.

Continuidad y operaciones con funciones
Sea c una constante y sean f y gdos funciones continuas en el punto a. Entonces las siguientes funciones también son continuas en a.
1.f±g 2.cf 3.fg 4. f/g,si g(a)≠0
Teoremas
Si lim┬(x→a)⁡〖g(x)=b〗 y si lafunción f es continua en b.
lim┬(x→a) (f⋅g)(x)=f(b). O bien de manera equivalente,
lim┬(x→a) f(g(x) )=f 〖(limg(x))〗┬(x→a)
Si la función g es continua en a y la función f es continua...