Constante De Integracion

Origen de la constante

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas decos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante.Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:

\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.

Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto,primitivas de cos(x):

{d\over dx}[\sin(x) + C] = {d\over dx}[\sin(x)] + {d\over dx}(C)
= \cos(x) + 0\,
= \cos(x)\,.

Necesidad de la constante

A primera vista puede parecer que la constante es innecesaria, puesto que se puede considerar cero. Además, al evaluar integrales definidas empleando el teorema fundamental del cálculo, la constante siempre se anulará. Pero intentarigualar la constante a cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, 2sin(x)cos(x) se puede integrar de dos maneras diferentes:

\begin{align} \int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=& \sin^2(x) + C &=& -\cos^2(x) + 1 + C \\ \int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=& -\cos^2(x) + C &=& \sin^2(x) - 1 + C \end{align}

Por lo tanto, al considerar C como nula aún quedaría una constante. Esto significa que, para una funcióndada, no hay ninguna antiderivada "más simple".

Otro problema con igualar C a cero es que a veces se quiere hallar una primitiva que tiene un valor dado en un punto dado. Por ejemplo, para obtener la primitiva de cos(x) que tiene el valor 100 en x = π sólo hay un valor válido de C (en este caso C = 100).

Esta restricción se puede reformular en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales.Encontrar una integral indefinida de una función f(x) es lo mismo que resolver la ecuación diferencial dy/dx = f(x). Cualquier ecuación diferencial tiene muchas soluciones, y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial muy definido. Imponer la condición de que la primitiva tome el valor 100 en x = π es una condición inicial. Cada condición inicial corresponde a un únicovalor de C, de modo que sin C sería imposible resolver el problema.

Hay otra justificación, que viene del álgebra abstracta. El espacio de todas las funciones reales sobre el conjunto de los números reales (adecuadas) es un espacio vectorial, y el operador diferencial

d/dx

es un operador lineal. El operador d/dx hace corresponder una función a cero si y sólo si la función es constante.Consecuentemente, el núcleo de d/dx es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida equivale a encontrar una antiimagen de una función dada. No hay ninguna antiimagen canónica para una función dada, pero el conjunto de todas esas antiimágenes forma una clase lateral. Elegir una constante es lo mismo que elegir un elemento de la clase lateral. En estecontexto, resolver un problema de valor inicial se interpreta como la pertenencia al hiperplano dado por las condiciones iniciales.
Motivo para la diferencia de una constante entre primitivas

Este resultado se puede establecer formalmente de esta forma: Sean F:R→R y G:R→R dos funciones derivables en todas partes. Supóngase que F'(x) = G'(x) para todos los números reales x. Entonces existe un número...