conicas
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Publicado: 11 de marzo de 2015
Sección cónica
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Los cuatro ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hiperbola (3).
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican encuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
EtimologíaEditar
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 a.C (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».[1] Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de variasmaneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
TiposEditar
Perspectiva de las secciones cónicas.
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas,a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α laintersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
Expresión algebraicaEditar
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, lascónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia.
Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. Acontinuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.
CaracterísticasEditar
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entrelos vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 A su vez, la de una hipérbola vertical es: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2} = 1
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la...
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Los cuatro ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hiperbola (3).
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican encuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
EtimologíaEditar
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 a.C (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».[1] Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de variasmaneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
TiposEditar
Perspectiva de las secciones cónicas.
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas,a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α laintersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
Expresión algebraicaEditar
Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, lascónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia.
Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. Acontinuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.
CaracterísticasEditar
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distancia focal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entrelos vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 A su vez, la de una hipérbola vertical es: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2} = 1
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la...
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