Conduccion de calor

Jame Stewart
C´lculo de Varias Variables
a
Sexta Edici´n
o
Cap´
ıtulo 10:
Ecuaciones param´tricas y coordenadas polares
e
10.0 Conducci´n de calor en una barra unidimensional
o
Introducci´n
o
Julio C. Carrillo E.
Profesor Escuela de Matem´ticas
a
Universidad Industrial de Santander
Bucaramanga, Santander

Copyright c 2007 de Julio C. Carrillo E.

10.0.

Conducci´n de caloren una barra unidimensional
o

En 1811 la Academia Francesa eligi´ el problema de la transferencia de calor para su premio anual. El
o
premio fue otorgado al matem´tico franc´s Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) por dos contribua
e
ciones importantes. Primero, como pronto veremos, desarrollo un problema en una ecuaci´n diferencial
o
apropiada para determinar la transferencia decalor, y adem´s desarrollo un nuevo m´todo, el m´todo
a
e
e
de separaci´n de variables, para resolver este problema.
o
10.0.1.

Ideas preliminares

1. Fluidos en movimiento:
(a) Se consideran como fluidos a los l´
ıquidos, los gases y los plasmas.
(b) Se define como flujo a un fluido en movimiento. Usualmente el flujo de un fluido se describe
en funci´n ciertas de ciertas variables f´
oısicas, escalares o vectoriales; por ejemplo, la presi´n p
o
y la densidad ̺ del fluido que son cantidades escalares, o su velocidad V que es una cantidad
vectorial.
(c) Un flujo es estacionario cuando las variables que lo caracterizan son constantes en el tiempo.
Estas variables ya no depender´n del tiempo; en este caso, las variables del fluido pueden cambiar
a
de un punto a otro en el fluido,pero ser independiente del tiempo. Por ejemplo, la densidad del
flujo puede tener un valor ̺(x1 , y1, z1) en el punto (x1, y1 , z1), pero pudiera cambiar su valor en
otro punto (x2, y2, z2). En cualquier caso,
∂̺
= 0.
∂t
1

Un flujo es no estacionario si todas las variables f´
ısicas que lo caracterizan dependen del tiempo
en todos los puntos del fluido.
(d) Un flujo es uniforme cuando lasvariables f´
ısicas son iguales en todos los puntos del flujo. Por
ejemplo, en un flujo uniforme la densidad ̺ de todas las part´
ıculas es la misma en cualquier
instante de tiempo, por tanto, la densidad no va a depender de la posici´n de la part´
o
ıcula de
fluido, aunque puede variar en el tiempo, ̺(t):
∂̺
= 0,
∂x

∂̺
= 0,
∂y

∂̺
= 0.
∂z

Cuando las variables f´
ısicas del flujovar´ de punto a punto, se dice que el flujo es no uniforme.
ıan
2. Flujo de calor:
(a) En F´
ısica, el calor se considera como el resultado de movimientos aleatorios de part´
ıculas materiales. El estado t´rmico de un cuerpo es definido por su temperatura.
e
(b) La temperatura es una caracterizaci´n num´rica de lo caliente o de lo fr´ que est´ un objeto o
o
e
ıo
a
una sustancia. Si unobjeto muy caliente (mayor temperatura) toca un objeto muy fr´ (menor
ıo
temperatura), la energ´ t´rmica (calor) tiende a fluir desde el objeto m´s caliente al m´s fr´
ıa e
a
a ıo
(Segundo principio de la termodin´mica).
a
(c) El calor es la energ´ que se mueve de un objeto o sustancia con una temperatura alta a un
ıa
objeto o sustancia con una temperatura m´s baja, debido a su diferenciade temperatura. El
a
calor es una forma de transferencia de energ´ no una forma de almacenar energ´ Por eso, el
ıa,
ıa.
calor se define como la transferencia de energ´ a trav´s de la frontera de un sistema debido a
ıa
e
una diferencia de temperatura entre el sistema y el medio en que se encuentra.
2

Cuando el calor fluye de un objeto m´s caliente a uno m´s fr´ la energ´ interna delobjeto m´s
a
a ıo,
ıa
a
caliente disminuye y la energ´ interna del objeto m´s fr´ aumenta.
ıa
a ıo
(d) La transferencia de calor, tambi´n conocida como flujo de calor, el intercambio de calor, o
e
transferencia de energ´ t´rmica, es el movimiento de calor de un lugar a otro. Cuando un
ıa e
objeto est´ a una temperatura diferente de su entorno, la transferencia de calor se produce para
a...