Condiciones Dce Frontera

2.2.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS CAMPOS ELÉCTRICOS.
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Ahora que ya se conoce el tratamiento del campo eléctrico en medios materiales, resulta necesario establecer el comportamiento del campo eléctrico
y del vector desplazamiento eléctrico
en puntos próximos a una superficie que separa dos medios dieléctricos distintos.Sean ambos medios definidos por sus permitividades eléctricas 1 y 2, o bien, en términos de sus constantes dieléctricas K1 y K2. En el medio 1 está definido un campo eléctrico
y un vector desplazamiento dieléctrico
, y que se relacionan linealmente según
; similar situación se observa en el medio dieléctrico 2, con
. Para establecer el comportamiento de estos campos, se utiliza laley de Gauss(
) y la expresión de la circulación del campo eléctrico a lo largo de una curva cerrada(
).
Con el empleo de la ley de Gauss se obtiene información acerca de la componente normal de los campos; en efecto, si se elige como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular a la superficie interfacial ( ver figura 3.5) y cuyo manto tiene una longitud infinitamente pequeña,entonces sólo existirá flujo a través de las tapas del cilindro gaussiana; si son los respectivos versores áreas de las tapas, se tiene que:

donde las áreas de la tapas y el área de la carga encerrada por la gaussiana son iguales, y por lo tanto,

(3.13)
y se concluye que la componente normal del vector desplazamiento eléctrico es discontinua en la frontera. Ahora bien, si en la superficieinterfacial no existe carga eléctrica libre(
) , entonces:

(3.14)
y se observa entonces una continuidad de la componente normal del vector desplazamiento eléctrico. A su vez, la componente normal del campo eléctrico satisface la siguiente relación:

Para averiguar el comportamiento de la componente tangencial, se elige como curva de circulación un rectángulo con aristas paralelas alsuperficie interfacial( ver figura 3.6), y con las aristas perpendiculares a la superficie infinitamente pequeñas, de modo tal que no haya contribución a la circulación del campo eléctrico en esos tramos; entonces,

y como el tramo de integración es el mismo y no nulo, se tiene que,

(3.15)
es decir, la componente tangencial del campo eléctrico es continua al pasar del medio dieléctrico 1 almedio dieléctrico 2. En consecuencia, la componente tangencial del vector desplazamiento eléctrico satisface la siguiente relación:

EJEMPLO 3.1. Una esfera conductora de radio 3R, centrada en el origen del sistema de referencia, está rodeada de un dieléctrico de permitividad y que se extiende hasta el infinito. Se sabe que el potencial eléctrico en el punto P de coordenadas
vale
.Determine:
• La carga sobre la esfera conductora.
• La densidad de carga de polarización en r = 3R.
SOLUCION: a) Dado que el punto P está a una distancia radial r " 0,42R del centro de la esfera conductora, se tiene entonces que,

siendo
Se necesita conocer el campo eléctrico en la región exterior a la esfera conductora. Como es una región de dieléctrico, se aplica la ley de Gauss paradieléctricos tomando como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r, entonces:

donde
es la superficie de la gaussiana y Q es la carga de la esfera conductora. Por lo tanto, de la relación
se obtiene la función campo eléctrico en la región requerida,

se reemplaza en la expresión del potencial eléctrico,

y resolviendo la integral se tiene,

• De la relación (3.4) sededuce que
, dado que el vector polarización es normal a la superficie esférica de radio 3R. Pero, además,
, con lo cual se obtiene:

e introduciendo el valor de la carga Q da finalmente,

EJEMPLO 3.2. Un cilindro hueco, de radio interno R y externo 3R, infinitamente largo, tiene una carga distribuida con densidad volumétrica
, con una constante conocida. Coaxialmente se coloca...