Carta de Smith

Carta de Smith
1. Introducción

Las líneas de transmisión son enlaces importantes en cualquier sistema. Son más que tramos de alambre o cable. Sus características eléctricas son sobresalientes, y se deben igualar a las del equipo para obtener comunicaciones adecuadas.
El análisis de líneas de transmisión conlleva un trabajo matemático tedioso y una gran cantidad de operaciones con númeroscomplejos, que si bien se pueden realizar de manera rápida en la actualidad con las calculadoras modernas, hace algún tiempo resultaba ser un trabajo demasiado difícil.
Fue este hecho el que llevo al origen de métodos gráficos alternativos, resultando el más popular la carta de Smith, una herramienta que facilita dicho análisis.

2. Desarrollo

Carta de Smith
La carta de Smith consiste en larepresentación gráfica, en el plano, del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas.
Desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los Bell Telephone Laboratories, debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas debido a su gran tamaño. Muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión a lo largo de su longitud. Seusa frecuentemente para simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga.
Se trata de un diagrama polar especial que contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante.Construcción de la carta de Smith
Como se menciono anteriormente la carta de Smith es un método gráfico que utiliza el plano complejo del coeficiente de reflexión, sobre el cual se ubican resistencias y reactancias normalizadas.

La impedancia de entrada sobre una línea sin pérdidas es:

Si se divide entre la impedancia característica de la línea, se dice que ésta está normalizada.

Donde:

Laimpedancia normalizada en función de z y es una cantidad compleja. Expresada con notación rectangular:

en donde r es una resistencia normalizada, y x una reactancia normalizada (ambas funciones de la coordenada z).
Asimismo, el coeficiente de reflexión de voltajes se puede representar como:

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de impedancia normalizada obtenemos:

La ecuacióncompleja anterior representa a dos familias de círculos que pueden graficarse en el plano complejo u – jv





Las ecuaciones anteriores se pueden reescribir como:

La primera ecuación, de las dos últimas, representa una familia de círculos de r constante sobre el plano complejo u – jv. El centro de cada círculo está en [r/(1 + r), 0], y su radio es [1/1 + r)].
La segunda ecuaciónrepresenta a otra familia de círculos en el mismo plano, pero éstos de x constante; cada círculo tiene su centro en [1,1/x] y su radio es [1/|x|].

Es decir que por un lado, sobre el eje horizontal de la carta de Smith se encuentran las resistencias, en medio está el valor 1, hacia la izquierda este valor va disminuyendo hasta que en el extremo izquierdo vale 0 y hacia la derecha va creciendo hastaque en el extremo derecho vale infinito. Sobre cada uno de esos valores de resistencia se puede trazar un círculo que llega hasta el eje derecho, todo el círculo tiene el mismo valor de resistencia.

La figura muestra los círculos de resistencia normalizada r sobre el plano complejo u – jv del coeficiente de reflexión.
Se observa que todos los círculos de resistencia normalizada tienen sucentro sobre el eje u, y conforme r aumenta, los círculos se hacen más pequeños y se desplazan hacia la derecha se hacen más pequeños.
El círculo mayor tiene radio unitario, y los radios de los demás círculos son menores a la unidad.
Todos los círculos pasan por el punto u=1 y v=0.

Por otro lado, la parte reactiva de la impedancia se busca sobre unos semicírculos que van desde el extremo...