Capítulo 5
Páginas: 4 (795 palabras)
Publicado: 2 de septiembre de 2010
Capítulo 5 Teorema del Binomio
5.1. Factoriales
Definición 1 Sea 8 − Ö!×Þ Vamos a definir inductívamente 8x (se lee 8 factorial) mediante "Ñ #Ñ Ejemplo 1 $x œ #x † $ œ "x † # † $ œ !x † " † # †$ œ " † # † $ œ ' 8x œ " † # † $ † † † † a8 "b † 8 8x œ a8 "bx † 8 œ a8 #bx † a8 "b8 œ "x † # † $ † † † † a8 #ba8 "b8 Ð8 "Ñx œ 8x a8 "b !x œ "
5.#. Coeficientes BinomialesDefinición 1 8 Sean 8 − ß 5 − Ö!×Þ Se define el símbolo Š ‹ß (se lee " 8 sobre 5 ") mediante 5 Ú 8x 8 si 5 Ÿ 8 Š ‹ œ Û a8 5 bx 5x 5 Ü ! si 5 8 Ejemplo 1 & &x "†#†$†%†& œ œ "!, Œ œ $ #x $x "†#†"†#†$# Œ œ! $
8 8x œ "ß Š ‹œ ! 8x † !x
8 8x a8 "bx8 œ œ8 Š ‹œ " Ð8 "Ñx † "x a8 "bx Notación.
8 8x œ "ß Š ‹œ 8 !x † 8x
Tambien es usual denotar al coeficiente binomial ˆ 8 ‰ß por C8 5 58 8 † a8 "b † † † † a8 5 "b Š ‹œ 5 "†#†$ † † † † 5
Propiedad 1 a 5 Ÿ 8ß
Nótese que, en ésta fracción hay en el numerador 5 factores decrecientes a partir de 8ß y en el denominador, losmismos 5 factores crecientes a partir de "Þ Demostración. 8 8x " † # † $ † † † a8 5 ba8 5 "b † † † a8 "b8 œ Š ‹œ 5 a8 5 bx 5x " † # † $ † † † a8 5 b † " † # † $ † † † † 5 œ Ejemplo 2 & &†%†$œ "! Œ œ $ "†# † $ 8 † a8 "b † † † † a8 5 "b "†#†$ † † † † 5
5 5 a5 "b " œ 5 a5 "b Œ œ # "†# # Propiedad 2 8 8 1) Š ‹ œ Š ‹ 5 85 8 8 8" 2) Š ‹ Œ œŒ 5 5" 5" 8 8" 3) 5 Š ‹ œ 8Œ ß 5 " 5 5" Demostración. a 5 8ß 8 8x 8x 8 1) Š ‹ œ œ œŠ ‹ 5 a8 5 bx 5x Ò8 a8 5 bÓx a8 5 bx 85
8 8 8x 8x 2) Š ‹ Œ œ 5 5" a8 5 bx 5x a8 5 "bx Ð5 "Ñx œ 8x œŒ
8 8x a8 "bx 8 3) 5 Š ‹ œ 5 œ5 5 a8 5 bx 5x a8 5 bx a5 "bx 5 œ8 a8 "bx 8" œ 8Œ a8 5 bx a5 "bx 5"
8" 5"
5"85 8xa8 "b œ a8 5 bx Ð5 "Ñx Ò8 " a5 "bÓx a5 "bx
a 5 8ßes inmediato. El cuadro de números que aparece a continuación se llama triángulo de Pascal, que, como veremos se puede expresar mediante los coeficientes binomiales. 1 1 1 1 1 1 5 4 10 3 6 10 ˆ!‰...
5.1. Factoriales
Definición 1 Sea 8 − Ö!×Þ Vamos a definir inductívamente 8x (se lee 8 factorial) mediante "Ñ #Ñ Ejemplo 1 $x œ #x † $ œ "x † # † $ œ !x † " † # †$ œ " † # † $ œ ' 8x œ " † # † $ † † † † a8 "b † 8 8x œ a8 "bx † 8 œ a8 #bx † a8 "b8 œ "x † # † $ † † † † a8 #ba8 "b8 Ð8 "Ñx œ 8x a8 "b !x œ "
5.#. Coeficientes BinomialesDefinición 1 8 Sean 8 − ß 5 − Ö!×Þ Se define el símbolo Š ‹ß (se lee " 8 sobre 5 ") mediante 5 Ú 8x 8 si 5 Ÿ 8 Š ‹ œ Û a8 5 bx 5x 5 Ü ! si 5 8 Ejemplo 1 & &x "†#†$†%†& œ œ "!, Œ œ $ #x $x "†#†"†#†$# Œ œ! $
8 8x œ "ß Š ‹œ ! 8x † !x
8 8x a8 "bx8 œ œ8 Š ‹œ " Ð8 "Ñx † "x a8 "bx Notación.
8 8x œ "ß Š ‹œ 8 !x † 8x
Tambien es usual denotar al coeficiente binomial ˆ 8 ‰ß por C8 5 58 8 † a8 "b † † † † a8 5 "b Š ‹œ 5 "†#†$ † † † † 5
Propiedad 1 a 5 Ÿ 8ß
Nótese que, en ésta fracción hay en el numerador 5 factores decrecientes a partir de 8ß y en el denominador, losmismos 5 factores crecientes a partir de "Þ Demostración. 8 8x " † # † $ † † † a8 5 ba8 5 "b † † † a8 "b8 œ Š ‹œ 5 a8 5 bx 5x " † # † $ † † † a8 5 b † " † # † $ † † † † 5 œ Ejemplo 2 & &†%†$œ "! Œ œ $ "†# † $ 8 † a8 "b † † † † a8 5 "b "†#†$ † † † † 5
5 5 a5 "b " œ 5 a5 "b Œ œ # "†# # Propiedad 2 8 8 1) Š ‹ œ Š ‹ 5 85 8 8 8" 2) Š ‹ Œ œŒ 5 5" 5" 8 8" 3) 5 Š ‹ œ 8Œ ß 5 " 5 5" Demostración. a 5 8ß 8 8x 8x 8 1) Š ‹ œ œ œŠ ‹ 5 a8 5 bx 5x Ò8 a8 5 bÓx a8 5 bx 85
8 8 8x 8x 2) Š ‹ Œ œ 5 5" a8 5 bx 5x a8 5 "bx Ð5 "Ñx œ 8x œŒ
8 8x a8 "bx 8 3) 5 Š ‹ œ 5 œ5 5 a8 5 bx 5x a8 5 bx a5 "bx 5 œ8 a8 "bx 8" œ 8Œ a8 5 bx a5 "bx 5"
8" 5"
5"85 8xa8 "b œ a8 5 bx Ð5 "Ñx Ò8 " a5 "bÓx a5 "bx
a 5 8ßes inmediato. El cuadro de números que aparece a continuación se llama triángulo de Pascal, que, como veremos se puede expresar mediante los coeficientes binomiales. 1 1 1 1 1 1 5 4 10 3 6 10 ˆ!‰...
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