Calculo

Funciones algebraicas cóncavas 

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.2
La concavidad, como característica del gráfico de una función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.
Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curvatambién lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.
Una función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que unafunción convexa es llamada cóncava hacia arriba.

MAXIMOS Y MINIMOS
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderososmecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de unpunto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto criticominimo relativo, o simplemente minimo.







PUNTO DE INFLEXION.
Un punto deinflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo deconcavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la funciónf en el punto de inflexión es cero, o no existe.


1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se halla la tercera derivada de 
4. Se iguala la segunda derivada a 0: 
5. Se despeja lavariable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
2. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo,hay que ver qué derivada es:
2.1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
2.2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.
La ecuación  no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en  la derivada segunda se anula y laprimera derivada no nula en  es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que  tampoco presenta un extremo en .


DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan serfunciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior
1ra Derivada
 ;  ;  ;  ;  ; 
2da Derivada
 ;  ;  ;  ;  ; 
3ra Derivada
 ;  ;  ;  ;  ; 
n-Derivada
 ;  ;  ; 
Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Encontrar la 2da derivada de 
 
Encontramos la 1ra derivada. 
 “derivamos f'(x).” 

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función...