Calculo 2

Soluci´n Primera Pr´ctica Calificada de C2
o
a
(2013-1)
1. Exprese el l´
ımite
π
l´
ım
n→+∞ 4n2

n

(2n + kπ) sen2
k=1

kπ
2n

como la integral definida de una funci´n en elintervalo [0, π ].
o
2

(3 pts)

Soluci´n.
o
a = 0, b = π , ∆x =
2
π
n→+∞ 4n2

π
, xk
2n

k=1

1+
k=1
n

π
2

=

kπ
2n

sen2

kπ
2n

π
2n

(1 + xk ) sen2 (xk ) ∆x

=l´
ım

n→+∞

kπ
2n

(2n + kπ) sen2

n
n→+∞

kπ
2n

n

L = l´
ım

= l´
ım

=

k=1

(1 + x) sen2 (x)dx

0

2. Sea R la regi´n limitada por las gr´ficas de la funciones f (x)= x y h(x) =
o
a
y ≤ 1. Halle el area de la regi´n R.
´
o

x2
, para
4
(3 pts)

Soluci´n.
o

1

x−

A=
0

=

x2
2

−

x3
12

x2
4

2

1

+ x−
0

1−

dx +x3
12

1
2

x2
4

dx

1

5
= 6 u2

3. Calcule las siguientes integrales
4

x x4 − 5x2 + 1

a)

6

+ e1−x + 3 dx

(2 pts)

−4

Soluci´n.
o
4

x x4 − 5x2 + 1

I=
−46

4

+ e1−x + 3 dx =

4

x(x4 −5x2 +1)6 dx+
−4

e1−x + 3 dx
−4

4

x(x4 − 5x2 + 1)6 dx = 0, pues f (x) = x(x4 − 5x2 + 1)6 es impar.
−4
4

4
−4

e1−x + 3 dx = −e1−x + 3x−4

= e5 − e−3 + 24

Luego, I = e5 − e−3 + 24
dx
b)
2 x + cos2 x
2 sen
Soluci´n.
o
dx
1
1
I=
=
dx
2
2 x + cos2 x
2x
2 sen
cos
2 tan x + 1
Cambio de variable: u = tan x entonces du= sec2 xdx. Luego,
√
√
du
1
1
I=
= √ arctan( 2u) + k = √ arctan( 2 tan(x)) + k
2+1
2u
2
2
4.

(2 pts)

a) Demuestre que
2π
≤
13

2π
0

dx
2π
≤
.
10 + 3 cos(x)
7

(2 pts)Soluci´n.
o
Si x ∈ [0, 2π] entonces −1 ≤ cos(x) ≤ 1.

−→ 7 ≤ 10 + 3 cos x ≤ 13
−→

1
1
1
≤
≤
13
10 + 3 cos x
7

Por propiedades de orden en las integrales, tenemos

bx

b) Seanf una funci´n continua en [0, b] y g(x) =
o
0

2π
≤
13

2π
0

dx
2π
≤
.
10 + 3 cos(x)
7

f (t)
dt. Demuestre que
x

b

g (1) = bf (b) −

f (t)dt.
0

(2 pts)...