Aplicaciones

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ESTUDIO DEL CONO ELIPTICO
x2 y2 z2
+
−
=0
a2 b2 c2
Nota: Lo dibujos correspondientes a las intersecciones de este estudio tienen el
mismo aspecto al estudio del cono circular. Sin embargo la intersección con planos
paralelos al plano “xy” son en este caso elipses en lugar de circunferencias.
1 - Estudio de la Simetría
a) Simetría respecto a los planos coordenados
Simetría respectoal plano xy
x 2 y 2 (− z ) 2
+
− 2 =0
a2 b2
c
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la
variable z, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano xy.
Simetría respecto al plano xz
x 2 (− y ) 2 z 2
+
− 2 =0
a2
b2
c
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la
variable y, concluimos que la superficie essimétrica respecto al plano xz.
Simetría respecto al plano yz
( − x) 2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =0
a2
b
c
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la
variable x, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano yz.
b) Simetría respecto a los ejes coordenados
Simetría respecto al eje x
x 2 (− y ) 2 (− z ) 2
+
− 2 =0
a2
b2
c

48
Como la ecuación de lasuperficie no se altera si cambiamos el signo de las
variables y y z, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al eje
x.
Simetría respecto al eje y
(− x) 2 y 2 ( − z ) 2
+ 2 − 2 =0
a2
b
c
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las
variables x y z, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al eje
y.
Simetría respecto al ejez
(− x) 2 (− y ) 2 z 2
+
− 2 =0
a2
b2
c
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las
variables x e y, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al eje
z.
c) Simetría respecto al origen de coordenadas
(− x) 2 (− y ) 2 (− z ) 2
+
− 2 =0
a2
b2
c
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 3
variables,podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al origen de
coordenadas.

2- Verificar si la superficie contiene o no el Origen del Sistema de Coordenadas
Reemplazando por el punto P(0,0,0) en la ecuación:
02 02 02
+
−
=0
a2 b2 c2

0=0

49
Se deduce que la superficie contiene al origen de coordenadas.
3- Intersección con los ejes coordenados
a. Intersección con el eje x
x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =0
b
c
a

y = 0
z = 0




⇒

 x2
 2 =0
a

y = 0
z = 0




O sea que: x = y = z = 0 ⇒

⇒

x 2 = 0

y = 0
z = 0


⇒

x = 0

y = 0
z = 0


⇒

y = 0

x = 0
z = 0


⇒

z = 0

x = 0
y = 0


P (0, 0, 0)

b. Intersección con el eje y
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =0
b
c
a

x = 0
z = 0



⇒

 y2
 2 =0
b

x = 0
z = 0




O sea que: x = y = z = 0 ⇒

⇒

y2 = 0

x = 0
z = 0


P (0, 0, 0)

c. Intersección con el eje z
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =0
b
c
a

x = 0
y = 0




⇒

 z2
− 2 = 0
c

x = 0
y = 0




O sea que: x = y = z = 0 ⇒

⇒

P (0, 0, 0)

z 2 = 0

x = 0
y = 0


50

4-Intersección con los planos coordenados
a) Intersección con el plano coordenado “xy” (z=0)
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =0
b
c
a
z = 0


 x2 y2
 2 + 2 =0
b
a
z = 0


⇒

x2 y2
En este caso, la única posibilidad de que 2 + 2 = 0 es que los valores de x y
a
b
x = 0
los valores de y sean iguales a 
. Por lo tanto obtenemos una recta
y = 0
coincidente con el eje z, quecortada con el plano “xy” (z=0) da como
intersección el punto de coordenadas P (0, 0, 0)

b) Intersección con el plano coordenado “xz” (y=0)
 x2 y2 z2
 2 + 2 − 2 =0
b
c
a
y = 0



a2
x = ± 2 z 2

c
y = 0


⇒

 x2 z2
 2 − 2 =0
c
a
y = 0


⇒

 x2 z2
 2= 2
c
a
y = 0


⇒

 2 a2 2
x = 2 z
c

y = 0


⇒

a

x = ± z
c

y = 0...