anillos

ANILLOS

DEFINICION:
Dado un conjunto A con dos operaciones internas que denotamos por + y * , decimos que (A, +, *) es un anillo si verifica:
1- (A,+) es un grupo abeliano.
A es cerrado bajola operación + (clausurativa) x, y: x + y Є A
La operación es asociativa (asociativa) x, y, z : ( x+y )+z =x+(y+z)
La operación + tiene a n como elemento neutro (elemento neutro)  O Є A, x:0 + x=x+0=x
Existe un elemento simétrico para + (elemento inverso) x,  (-x) (-x)+x = x+(-x)=0

Las primeras cuatro condiciones definen a un grupo, la quinta condición define a un grupoabeliano.

La operación + es conmutativa (conmutativa) x, y : x + y = y + x

2- Para definir un anillo, es necesasrio tres condiciones mas que hablan acerca de la segunda operación binaria:
(A,*)es un semigrupo.

A es cerrado bajo la operación * (clausurativa) x, y : x *y Є A
La operación * es asociativa (asociativa) x, y, z : x*(y*z) = (x*y)*z

3- La operación * es distributivarespecto de +

a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (distribuida a izquierda) a, b, c A
(a + b) * c = (a * c) + (b * c) (distribuida a derecha) a, b, cA

4- Se define un anillo conmutativo
Si la operación * es conmutativa

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se lesuele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).
EJEMPLOS:
1- Decir si (Z,+,*) tiene estructura de anillo.

Solución: Debemos comprobarcada una de las ocho propiedades del anillo.

1a) es una operación interna en Z, pues dados dos números enteros a, b, también es entero a b = a + b - 8.

2a) Comprobemos la asociatividad de :a (b c) = a ( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 = a + b + c - 16.

(a b) c = ( a + b - 8) c = ( a + b - 8) + c - 8 = a + b + c - 16.

En efecto, es asociativa.

3a)...