Angulo Entre Dos Rectas

6.6 ANGULO ENTRE DOS RECTAS



Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son θ1 y θ2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 10), esto es: β1 = β2 = y ά1 = ά2



Se define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 yl2 viene
dado por: tan⁡(β_1 )=(m1-m2)/(1+m1∙m2)

Fig. 10
6.6.1 Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:
i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1
En la fig. 11 aparece ilustrada cada una de las situaciones



fig. 11..







Ejemplo 5 Encontrar el ángulo formado por las rectas




AC1 Hallar el perímetro de la siguiente figura y las pendientes de los segmentos de recta que forman el cuadrilátero.



AC2 Graficar una recta de pendiente 10 % que pase por el origen y determine su ángulo de inclinación

AC3 Los vértices de un triángulo son A(-2,1),B(3,5) y C(7,0). Determinar si el triángulo es isósceles y calcular su área aplicando la fórmula de semiperímetro.
Resp : Area = 20,5 cm2

AC4 En el siguiente paralelogramo , cuales son las pendientes de las rectas BC, AD , la inclinación de las rectas AD y AB. Determinar los ángulos entre las diagonales.



Resp : 15.950 , 116,570
AC5 El extremo de un segmento de recta esel punto A(2, -4). Si la ordenada del otro extremo es 3/2 de su abscisa, determine las coordenadas del punto, si la longitud del segmento es de unidades.
Resp : P= (4,6) o P=(-84/13 , -126/13)
AC6 Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos A y B. Si el punto A tiene coordenadas (3,-2) y la ordenada de B es -1, encuentre su abscisa.
Resp : 4
AC7Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (-2, 3) y (6, -3).
Resp : Puntos de trisección: (2/3, 1), (10/3, -1) Punto medio (2, 0)
AC8 Los vértices de un triángulo son A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Trazar las medianas y determinar el punto de intersección de las mismas usando la propiedad del baricentro .
Resp : Baricentro = (3, 7/3)6.7 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
6.7.1 Recta que pasa por el origen


Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación θ con el eje x (fig. 12)



Fig. 12
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
y_1/x_1 =y_2/x_2 =y_3/x_3 =const=tan⁡(θ)=m

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, y/x=m ó y = mx (1)
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

Ejemplo 6

Escribir las ecuaciones de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.



......


Para la rectal, se tiene y = (tan 30º) x =√3/3 x
Para la recta n, se tiene y = (tan 45º)x . Es decir y = x
Igualmente, para la recta m, se tiene:
y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x Esto es, y = -x
Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que m=3/1=y/x

Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.

6.7.2 Recta que pasa por un punto y de pendiente conocida

Considere la recta l que pasa por unpunto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.


Al llamar b a la intersección de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:
y = mx + b (1)
Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y1 = mx1 + b (2)
fig. 13
Al restar de la ecuación (2) la...