Algebra

1. El distribuidor de un nuevo automóvil ha obtenido los siguientes datos: No. de semanas después de la presentación del auto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ventas brutas por semana (millones dedólares) 0.8 0.5 3.2 4.3 4 5.1 4.3 3.8 1.2 0.8

Sean x los ingresos brutos por semana (en millones de dólares) y t las semanas después de la presentación del automóvil. (a) Determine unpolinomio cuadrático de mínimos cuadrados para los datos dados. (b) Utilice la ecuación del inciso (a) para estimar los ingresos brutos 12 semanas después de la presentación del automóvil.2. Considere dos especies en competencia que viven en el mismo bosque, y sean x1 (t) y x2 (t) sus poblaciones respectivas en el instante t. Suponga que sus poblaciones iniciales son x1(0) = 500 y x2 (0) = 200. Si las tasas de crecimiento de las especies son:
x1 (t) = −3x1 (t) + 6x2 (t) x2 (t) = x1 (t) − 2x2 (t)

¾Cuál es la población de cada especie en el instante t?3. Determinar una forma cuadrática del tipo del teorema 9.2 (pág 478-Kolman), que sea equivalente a la forma cuadrática dada: 1

(a) x2 + x2 + x2 + 2x2 x3 1 2 3 (b) 6x1 x2 + 8x2 x3 4.Sea L : R3 → R3 denida como:
   1 1 L  0  =  2  , 0 3     0 0 L  1  =  1  1 0  1  1  0  y  0 L  0  = 1 

(a) Demuestre que L es invertible.
 x(b) Determine L−1  y  usando la matriz asociada a L−1 . z 2 3 3  3 2 2 5. Demuestre que   0 0 1 0 0 0   0 −2 1 6. Sea A =  1 3 −1 : 0 0 1   5 3   no es diagonalizable. 1 1 

(a) Demuestre que A es diagonalizable. (b) Halle la matriz diagonal D a la cual A es semejante y la matriz P , tal que D = P −1 AP . (c) Calcule A20 . 7. Diagonaliceortogonalmente las matrices dadas, proporcionando en cada caso la matriz diagonal D y la matriz ortogonal diagonalizante P :
 −1 2 2 (a)  2 −1 2  2 2 −1   1 0 0 (b)  0 3 −2  0 −2 3 

2...