Algebra

1. En los siguientes incisos, determine si la matriz dada es invertible (si el det(A) =
0 no es invertible). Si lo es, calcule la inversa mediante la f´ormula A−1 =
1
det(A)
adj(A) dondedet(A) significa determinante de A y adj(A) es la matriz
adjunta.
a)0
@
1 i 0
−i 0 1
0 1 + i 1 − i
1A
b)0
@
2 −1 4
−1 0 5
19 −7 3
1A
Nota: Recuerde que la matriz adjunta es lamatriz de cofactores y su transpuesta
abreviada como At.
2. En los siguientes incisos, determine si la matriz dada es invertible. Si lo es, cal-
cule la inversa mediante la f´ormula A−1 =1
det(A)
adj(A) donde det(A) significa
determinante de A y adj(A) es la matriz adjunta.
a)0
@
−1 i 0
−i 0 1
0 1 + i 1 − i
1A
b)0
@
1 2 3
1 1 2
0 1 2
1A
Nota: Recuerde que lamatriz adjunta es la matriz de cofactores y su transpuesta.
3. Realice las operaciones que se indican en cada inciso, teniendo en mente que At
significa matriz transpuesta:
a) Una matrizsim´etrica es una matriz cuadrada (de n filas por n columnas)
tal que At = A. Encuentre los n´umeros  y  tales que la matriz
A =0
@
2  3
5 −6 2
 2 4
1A
sea sim´etrica.
b) Unamatriz cuadrada se llama antisim´etrica si At = −A. Compruebe que
la siguiente matriz es antisim´etrica.
B =0
@
0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
1A
4. a) Dadas la matrices del ejercicio anterior,calcular lo siguientes:
b) A2B − 6Bt.
c) Comprobar que (A + B)t = At + Bt.
d) ¿Cu´al de la igualdades se cumple: (AB)t = AtBt o (AB)t = BtAt?
5. a) Resolver el siguiente sistema deecuaciones mediante el m´etodo de Gauss-
jordan:
x1 + 4x2 + 6x3 = −1
2x1 − x2 + 3x3 = 7
3x1 + 2x2 + 5x3 = 2
b) El sistema del iniciso anterior se puede escribir en la forma AX = b donde
A =0
@1 4 6
2 −1 3
3 2 5
1A
, X =0
@
x1
x2
x3
1A
, b =0
@
−1
7
2
1A
.
Encontrar los x1, x2 y x3 multiplicando A−1 a ambos lados de la ecuaci´on
AX = b, y resolviendo X = A−1b.
1