Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL
VECTORES EN R3
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen
de coordenadas a los ejes X e Y.
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados
dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son
positivas.
Vector En ElEspacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y
su extremo en el otro. En el caso de los vectores en R3 son vectores orientados en el sistema de
coordenadas tridimensionales.

Si el vector parte del origen entonces el vector lo podemos representar de la siguiente forma:
𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣 = 𝑥𝑦𝑧
𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
Estas tres representacionesexpresan absolutamente lo mismo.

Ejemplo:
𝑣 = (3, −2,4)
𝑣 = 3 −2 4
𝑣 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘
Si las coordenadas de los puntos de origen (A) y extremo (B) de un vector son A(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y
B(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las
coordenadas del origen.
𝑣 = (𝑥1 − 𝑥2 , 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑧1 − 𝑧2 )
Las operaciones de suma, resta, multiplicación porescalar, producto punto, se hacen casi igual que las
operaciones en R2.
Ejemplos
Sean: 𝑣 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 y 𝑢 = 2𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘. Realizar las siguientes operaciones:
1. 𝒗 + 𝒖 (Esto es una suma de vectores)
𝑣 + 𝑢 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 + 2𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘
𝑣 + 𝑢 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 + 2𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘
𝑣 + 𝑢 = 5𝑖 + 3𝑗 + 2𝑘
2. 𝟐𝒗 (Esto es una multiplicación de un vector por un escalar)
2𝑣 = 2(3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘)
2𝑣 = 6𝑖 − 4𝑗 +8𝑘
3. 𝟑𝒗 − 𝟐𝒖 (Operaciones algebraicas con vectores)
3𝑣 + 2𝑢 = 3 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 − 2 2𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘
3𝑣 + 2𝑢 = 9𝑖 − 6𝑗 + 12𝑘 − 4𝑖 − 10𝑗 + 4𝑘
3𝑣 + 2𝑢 = 5𝑖 − 16𝑗 + 16𝑘
4. 𝒗 ∗ 𝒖 (Esto es un producto escalar o producto punto)
𝑣 ∗ 𝑢 = 3 ∗ 2 + −2 ∗ 5 + 4 ∗ (−2)
𝑣 ∗ 𝑢 = 6 − 10 − 8
𝑣 ∗ 𝑢 = −12

5. 𝒗 (Esto es la magnitud de un vector)
𝑣 =
𝑣 =

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

(3)2 + (−2)2 + (4)2
𝑣 = 9 + 4 + 16𝑣 = 29

Si hallan la magnitud del vector 𝑢 obtendremos:
𝑢 = 33
6. Angulo entre dos vectores.
𝑣∗𝑢
𝑣 𝑢

𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

Como ya hicimos las operaciones anteriores en el numeral 4 y 5, reemplazamos:
−12

𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1

29 33
𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 −1 −0,3879
𝜃 = 112,82°

7. Vectores ortogonales y paralelos
De igual manera si el ángulo que existe entre ellos son 90° los vectores son ortogonales,mientras que,
si el ángulo que existe entre ellos es de 0° o 180° los vectores son paralelos.

8. Calculo de un vector unitario con la misma dirección de un vector. (Ver cuaderno)
𝟓

Sea el vector 𝒗 = 𝟒𝒊 + 𝟐 𝒋 +

𝟏𝟏
𝟐

𝒌.
𝑢=

𝑣 = (4)2 +

𝑣
𝑣
5 2
2

+

11
2

𝑣 = 25 = 5
5
11
4𝑖 + 2 𝑗 + 2 𝑘
𝑢=
5
4
1
11
𝑢 = 𝑖+ 𝑗+
𝑘
5
2
10

2

PRODUCTO CRUZ

Hasta el momento elúnico producto de vectores que se ha considerado ha sido el producto escalar o
producto punto. Ahora se define un nuevo producto, llamado producto cruz (o producto vectorial), que
está definido solo en R3.

¿Pero de donde sale esta ecuación? Observe, es el determinante de la siguiente matriz:

Ejemplo:
Sean: 𝑣 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 y 𝑢 = 2𝑖 + 5𝑗 − 2𝑘. Hallar el producto cruz entre ellos.
1. 𝒗× 𝒖 (Esto es producto cruz o producto vectorial)
𝑖
𝑣×𝑢 = 3
2

𝑗
𝑘
−2 4
5 −2

Revisar como se halla el determinante de una matriz 3x3 por cofactores.
𝑣×𝑢 =𝑖

−2 4
3 −2
3 4
−𝑗
+𝑘
5 −2
2 5
2 −2
𝑣 × 𝑢 = −16𝑖 + 14𝑗 + 19𝑘

Propiedades del producto cruz


ALGEBRA LINEAL
EXAMEN FINAL
PAGINA 1
INSTRUCCIONES
1. En la PÁGINA 1 encontrarán las instrucciones del examen.
2. En laPÁGINA 2 encontrarán los ejercicios que se piden desarrollar en el examen.
3. En la PÁGINA 3 y 4 encontrarán la asignación, por cada persona, de los vectores con los que deben
realizar dichos ejercicios.
4. El examen debe hacerse con la herramienta de ecuaciones de Microsoft Office Word.
5. Después de realizar el examen lo deben convertir en formato pdf
6. El Examen se entrega vía correo...