Algebra de vectores

FS0210 Física General I – Apéndice B: Algebra de Vectores

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FISICA FS-0210 FISICA GENERAL I
Preparado y Editado por Dr. William E. Vargas

ALGEBRA DE VECTORES

Algunas magnitudes físicas, tales como la masa y la longitud, quedan completamente determinadas cuando se conoce su medida respecto a unidades dadas. A estas magnitudesse les llaman escalares. Otras, como la velocidad y la fuerza, de las que además es preciso conocer su dirección y sentido, se denominan cantidades vectoriales. Un vector se representa por un segmento de recta dirigido, esto es, con una flecha en uno de sus extremos la cual indica el sentido del vector. La longitud de ese segmento de recta es proporcional a la magntud o módulo del vector, segúnun factor de conversión previamente definido. Para facilitar el manejo analítico de los vectores en lo que se refiere a los procesos de suma, resta, y multiplicación es adecuado referirlos a un sistema de coordenadas cartesianas, como el indicado en la figura:
Y

A
A

Ay Ax

ˆ j

ˆ i

X

Fig.1. Representación Gráfica de un Vector A .

Los catetos Ax y Ay se definen en forma paralelaa los semiejes X y Y respectivamente, ˆ j al igual que los vectores unitarios i y ˆ . En términos de componentes cartesianas y ˆ vectores unitarios se tiene que A = Ax i + Ay ˆ , siendo la magnitud del vector dada j
2 por A = A = Ax2 + Ay . Obsérvese que la magnitud de un vector es una cantidad

escalar, la cual se define positiva.

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Suma de Vectores en el Plano Cartesiano ˆ ˆ Dados los vectores A = Ax i + Ay ˆ y B = Bx i + By ˆ , al sumarlos analíticamente j j agrupamos las componentes paralelas al eje X y las paralelas al eje Y, de modo ˆ que A + B = ( Ax + Bx )i + ( Ay + By ) ˆ A + B . La justificación de este procedimiento se j basa en el hecho de que la suma o resta de vectores paralelos o antiparalelos se puederealizar sumando o restando longitudes, especificando luego la dirección.
Y

A+ B
Ax Ay

Ay

A

B
By Bx Ax By

ˆ j

ˆ i

X

Fig.2. Suma gráfica de dos vectores A y B .

Si se requiere sumar más de dos vectores para obtener el vector resultante, aplicamos una extensión del procedimiento ilustrado antes con dos vectores: ˆ R = ( Ax + Bx + C x + Dx + ...)i + ( Ay + By + C y + Dy+ ...) ˆ . j Resta de Vectores en el Plano Cartesiano. Este proceso es equivalente al de sumar, previo al hecho de multiplicar por –1 al vector que se va a restar, según se indica en la siguiente figura:
Y

A
A−B

B

−B

ˆ j

ˆ i
Fig.3. Resta de dos vectores.

X

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ˆ En forma analítica la resta se realiza de lasiguiente forma: R = A − B = ( Axi + Ay ˆ) − j ˆ ˆ j j ( Bxi + By ˆ) = ( Ax − Bx )i + ( Ay − By ) ˆ .

Multiplicación de un Vector por un Escalar. Al multiplicar una cantidad escalar, un número real seguido de unas unidades, por otra cantidad vectorial obtenemos un nuevo vector: ˆ ˆ B = λ A = λ ( Axi + Ay ˆ) = (λ Ax )i + (λ Ay ) ˆ j j
2 2 B = Bx + By = (λ Ax ) 2 + (λ Ay ) 2 = λ 2 Ax2 + Ay = λ A .Una aplicación de particular importancia consiste en obtener a partir de un vector ˆ dado A , su correspondiente vector unitario eA = A A = AA . Producto Escalar o Producto Punto de Dos Vectores Este tipo de producto vectorial, a partir del cual se calcula una cantidad escalar, se define de la forma: A ⋅ B = AB cos θ , donde θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) es el ángulo menor entre los vectores A y B aldibujarlos con origen común. Si los vectores A y B son expresados en componentes cartesianas, su producto escalar llega a estar dado por: A ⋅ B = ( Ax i + Ay j ) ⋅ ( Bx i + By j ) , ˆ ˆ ˆ j A ⋅ B = ( Ax Bx )(i ⋅ i ) + ( Ax By )(i ⋅ ˆ) + ( Ay Bx )( ˆ ⋅ i ) + ( Ay By )( ˆ ⋅ ˆ) , j ˆ j j

A ⋅ B = Ax Bx + Ay By , ˆ ˆ j j ˆ j j ˆ siendo i ⋅ i = ˆ ⋅ ˆ = 1 , y i ⋅ ˆ = ˆ ⋅ i = 0 . Obsérvese que A ⋅ A = A2 ....