Algebra Basica

CLASE # 5

CAPÍTULO 3: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Antes de entrar a ver este capítulo vamos a repasar los productos notables, muy importantes para poder realizar los ejercicios de aplicación de este y los demás capítulos.

1) a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b) (Diferencia de cuadrados)

2) a3 – b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2 ) (diferencia de cubos)

a5 – b5 = ( a - b ) ( a4 + a3b +a2b2 + ab3 + b4 )

3) a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 - ab + b2 ) (suma de cubos)

a5 + b5 = ( a + b ) ( a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 )

4) ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (trinomio cuadrado perfecto con suma)

5) ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 (trinomio cuadrado perfecto con diferencia)

6) ( a + b )3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 (cubo de una suma)

7) ( a - b )3 = a3 – 3a2b +3ab2 - b3 (cubo de unadiferencia)

8) a4 – b4 = ( a - b ) ( a3 + a2b + ab2 + b3 )
= a4 + a3b + a2b2 + ab3 - a3b - a2b2 - ab3 - b4 )
= a4 – b4
9) a4 + b4 La suma de potencias pares no es posible factorizar de esta forma.


POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación

Objetivos

Al terminar esta sesión,

1) Comprenderás el significado de ax cuando x(ℚ

2) Efectuarás lasoperaciones básicas y simplificarás expresiones que contienen términos ax

Def. Sea a( ℝ y n(ℕ

1) an se escribe a x a x a x ….x a

n veces

2) a0 = 1

3) a-n = 1 , a ( 0
an



Propiedades.
Sean a, b ( ℝ ; m, n ( ℕ. Las siguientes afirmaciones son ciertas.
1) an. am = an+m
2) (an)m = an.m
3) (a.b)n = an. bn

4)a n = an , b ( 0, a – n = bn , a ( 0 y b ( 0
b bn b an

5) an = an-m =_1_ si a ( 0
am am-n

Ejemplos:
a) ( x - y )2 . ( x - y )3 = ( x - y )2+3 = ( x - y )5 (Propiedad 1)
b) [ ( x - y )2 ]3 = ( x - y )2.3 = ( x - y )6 (Propiedad 2)
c) ( x2 - y2 )5 = [ ( x + y ) ( x - y ) ]5= ( x + y )5 ( x - y )5 (Propiedad 3)
d) ( x2 - y2 )2 = x2 - y2 2 = ( x - y) ( x + y ) 2 = ( x + y )2 (Propiedad 4)
( x - y )2 x - y x – y

e) ( x - y )3 = ___1___ = _1_ (Propiedad 5)
( x - y )4 ( x - y )4-3 x - y


Ejercicios de aplicación

Efectuemos las operaciones indicadas, dando el resultado enla forma más simple posible
-1
a) b2 a-1 + a + b b) 16n+1 + 22n+3 + 8(2
a2 - b3 a-1 24n+1 + 4n + (2
- 1
c) a-1 - b-1 ( b-2 + a-2 d) Probar que:
a-1+ b-1 b-2 - a-2 a-2 - 2b-1 -1 ( [ ( 2a2 + b )-1 ] -1 = _1_
a-4 - 4b-2 a2b
Solución:
-1 a2 - b3 a3 – b3
a) b2 a-1 + a + b = __a2 - b3 a-1 =a__ = _____a______ = __a3 – b3__
a2 - b3 a-1 b2 a-1 + a + b b2 + a + b b2 + a2 + ab a2 + ab +b2
a a
= ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) = a - b
a2 + ab +b2



b) 16n+1 + 22n+3 + 8(2 = (24)n+1 + 22n . 23 +8(2 = 24n+4 + 8 . 22n + 8(2 = 24n+1. 23 + 8.22n + 8(2
24n+1 + 4n + (2 24n+1 + (22)n + (2 24n+1 + 22n + (2 24n+1 + 22n + (2
= 8 . 24n+1 + 8.22n + 8(2 = 8 ( 24n+1 + 22n + (2 ) = 8
24n+1 + 22n + (2 24n+1 + 22n + (2

-1...