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Cónicas con Ejes Rotadas
1. Introducción
Cónica, cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo α de la superficie cónica y del ángulo β que forma el plano P con el eje e.

Si β > α entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, portanto, se obtiene una curva cerrada. Si β ≤ α se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome β.
2. Aplicaciones Cónicas
Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas ycometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.
3. Cónicas RotadasEn esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.
Se considera entonces una ecuación de la forma
| ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, |   |
Bajo la condición
| a > 0, y . |   |
Los vectores propios por analizar están asociados a la matriz de los coeficientes

la cuales simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante
| , |   |
y al número b2 − 4ac se le denomina discriminante de la matriz M.
3.1. Valores y Vectores Propios
Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es
| 4λ2 − 4(a − c)λ − (b2 − 4ac) = 0, |   |
y de estasurge la relación
| 4(λ − a)2 = 4(c − a)λ + 4a2 + b2 − 4ac. |   |
Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica):
| , | |
o bien, en términos de la traza y el determinante
| . | |
De esta expresión junto con la condición se concluye:
NOTA 1 los valores propios jamás son iguales porque b2 > 0. |
Sea λ1 el menor valor propio; este es
| . |   |
delcual resulta
| . | |
Ahora, teniendo en cuenta que, para todo real N
| N2 < N2 + b2, | |
de lo cual:
NOTA 2 , con lo cual 2(λ1 − a) < 0. También λ1 < a. |
Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene
| 2(λ2 − c) = − 2(λ1 − a), | |
de donde λ2 > c.
3.2. Vector propio asociado al menor valor propio λ1
De la relación los vectores propios X de lamatriz M satisfacen
| (M − λI)X = O, | |
y con Xt = [x,y], en función de las componentes
| | |
Que da lugar a un sistema de ecuación equivalentes entre sí, de tal manera que resulta
| con , | |
para cualquier valor propio λ. Entonces al considerar el valor propio λ1
| by = 2(λ1 − a)x, | |
Obteniendo cada vector propio asociado a λ1
| , para todo . | |
Tomando en particularel vector propio v1
| , |   |
el cual por la NOTA 2, tiene segunda componente negativa.
3.3. Vector propio asociado a λ2
Puesto que el segundo valor propio λ2 es distinto de λ1 (NOTA 1), entonces siendo M una matriz simetría el vector propio v2 asociado a λ2 es ortogonal a v1.Así, se propone rotar 90o en el sentido anti horario el vector v1 quedando
| , |   |
y por la NOTA 2, laprimera componente es positiva. También.
Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el ángulo correspondiente oscilará en el intervalo, se elige el par de vectores propios siguiente:

Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso v1 está en el cuarto cuadrante del plano cartesiano, v2 está en el primer cuadrante y, en el segundo caso,...