2014 2 Con Pauta
Páginas: 8 (1800 palabras)
Publicado: 9 de noviembre de 2015
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´
atica
Casa Central - Valpara´ıso
Pauta
Certamen #1 Mat-024
do
2
Semestre 2014 - Mi´ercoles 24 de Septiembre
2
1. Dada la funci´
on T : [0, 2π] × R+
0 → R definida por
T (θ, ρ) = (ρ cos θ sen 4θ, ρ sen θ sen 4θ) = (x, y).
(a) Considere el rect´
angulo R = [0, π/4] × [0, 2]. Dibuje la imagen de T (R) = Ω.
(b) Calcular la masadel cilindro S con base Ω y altura dada por la superficie z =
proporcional a la distancia de cada punto del s´olido al plano xy.
4 − x2 − y 2 con densidad
Sugerencia: Para obtener la imagen del conjunto R bajo la transformaci´
on T es posible utilizar coordenadas polares.
Soluci´
on:
(a) Para ρ > 0 fijo recordamos el cambio de variables a coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sen θ. Con esto
rcos θ = ρ cos θ sen 4θ
r sen θ = ρ sen θ sen 4θ.
Elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos r = ρ sen 4θ, que es la ecuaci´on de una rosa de cuatro p´etalos.
Como ρ ∈ [0, 2], se tiene que Ω es la uni´on de todos los p´etalos hasta ρ = 2. Esto se muestra en la Figura 1.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Figura 1: Ω, la imagen de T (R).
(b) El Jacobiano de la transformaci´
on seobtiene del determinante de la siguiente matriz
∂(x, y)
cos θ sen 4θ
=
sen θ sen 4θ
∂(ρ, θ)
ρ(− sen θ sen 4θ + 4 cos θ cos 4θ)
,
ρ(cos θ sen 4θ + 4 sen θ cos 4θ)
el cual es ρ sen2 4θ. Se tiene entonces que el s´olido S est´a descrito por
4 − ρ2 sen2 4θ}.
S = {(ρ, θ, z) : 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ z ≤
Luego, si la constante de proporcionalidad es k > 0, la masa MS est´a dada por
√
MS
=
k
2
0
π/4=
4−ρ2 sen2 4θ
kzρ sen2 4θ dzdρdθ
4k
3
0
π/4
4 − ρ2 sen2 4θ ρ sen2 4θ dρdθ = 4k
0
0
4k
4k
3
0
2
0
=
2
0
π/4
=
π/4
kzdV =
Ω
=
√
4−x2 −y 2
2
1
sen2 4θ +
1 − sen2 4θ sen2 4θ dθ
3
3
π/4
(1 − cos 8θ)dθ +
0
π 1
+
4
8
1−
0
π/4
1
4
sen2 8θdθ
0
π/4
(1 − cos 16θ)dθ
0
1
=
3kπ
.
8
1
sen2 4θ sen2 4θ dθ
3
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica
Casa Central - Valpara´ıso
2. Para la regi´
on Ω ⊂ R3 definida como Ω =
par´
ametro m la integral
(x, y, z) ∈ R3 / |x| + |y| + |z| ≤ 16 , determine para que valores del
2
I=
Ω
2
2
e−(x +y +z )
dV
(4x2 + y 2 + z 2 )m
es convergente
Soluci´
on: Para acotar la integral impropia utilizaremos que si Ω ⊂ Ω1 entonces
f (x, y, z)g(x, y, z)dV ≤
g(x, y, z)dV ≤
m´
ax f (x, y, z)
(x,y,z)∈Ω
Ωm´ax f (x, y, z)
g(x, y, z)dV
(x,y,z)∈Ω
Ω
Ω1
luego
I≤
Ω
3
(4x2
1
dV,
+ y 2 + z 2 )m
2
2
2
(4x2
1
dV ≤
+ y 2 + z 2 )m
y definimos Ω1 = (x, y, z) ∈ R / 4x + y + z ≤ 64 y esta regi´on cumple que Ω ⊂ Ω1 , asi tenemos que
I≤
Ω
Ω1
(4x2
1
dV,
+ y 2 + z 2 )m
en la cual se utiliza coordenadas esf´ericas,
x =
ρ
2
y
=
ρ sin φ sin θ,
z
=
ρ cos φ,
sin φ cos θ,
∂(x, y, z)
ρ2 sin φ
=
, loque permite obtener que
∂(ρ, θ, φ)
2
cuyo jacobiano es
I≤
Ω1
1
dV = l´ım
2
a→0
(4x + y 2 + z 2 )m
2π
π
0
es decir
0
a
a→0
3
2.
la cual va a ser convergente si 3 − 2m > 0, o bien m <
integral diverge usaremos que si Ω2 ⊂ Ω entonces
m´ın
g(x, y, z)dV ≤
f (x, y, z)
ρ2 sin φ
dρdφdθ = 2π l´ım
a→0
2ρ2m
83−2m
a3−2m
−
3 − 2m 3 − 2m
I ≤ 2π l´ım
(x,y,z)∈Ω2
8
ρ2−2m dρ,
a
,
Para analizarpara que valores del par´ametros m la
f (x, y, z)g(x, y, z)dV ≤
Ω2
8
Ω2
f (x, y, z)g(x, y, z)dV
Ω
as´ı definiremos Ω2 = (x, y, z) ∈ R3 / 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 la cual cumple que Ω2 ⊂ Ω, de esta forma
2
Ω2
2
2
2
e−(x +y +z )
dV ≤
(4x2 + y 2 + z 2 )m
Ω
2
y como x2 + y 2 + z 2 ≤ 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 se tiene que e−(x
I ≥ e−1
Ω2
es decir
I ≥ 2π l´ım
a→0
asi la integral diverge si m ≥
+y2 +z 2 )
2π
1
dV = l´ım
a→0
(4x2 + y 2 + z 2 )m
0
π
0
1
a
2
2
≥ e−1 , lo que permite concluir que
ρ2 sin φ
dρdφdθ = 2π l´ım
a→0
2ρ2m
a3−2m
1
−
3 − 2m 3 − 2m
3
2
2
e−(x +y +z )
dV,
(4x2 + y 2 + z 2 )m
,
1
ρ2−2m dρ
a
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´
atica
Casa Central - Valpara´ıso
3. Sea Ω ⊂ R2 una l´
amina delimitada por las curvas
y = x3 , y...
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Pauta
Certamen #1 Mat-024
do
2
Semestre 2014 - Mi´ercoles 24 de Septiembre
2
1. Dada la funci´
on T : [0, 2π] × R+
0 → R definida por
T (θ, ρ) = (ρ cos θ sen 4θ, ρ sen θ sen 4θ) = (x, y).
(a) Considere el rect´
angulo R = [0, π/4] × [0, 2]. Dibuje la imagen de T (R) = Ω.
(b) Calcular la masadel cilindro S con base Ω y altura dada por la superficie z =
proporcional a la distancia de cada punto del s´olido al plano xy.
4 − x2 − y 2 con densidad
Sugerencia: Para obtener la imagen del conjunto R bajo la transformaci´
on T es posible utilizar coordenadas polares.
Soluci´
on:
(a) Para ρ > 0 fijo recordamos el cambio de variables a coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sen θ. Con esto
rcos θ = ρ cos θ sen 4θ
r sen θ = ρ sen θ sen 4θ.
Elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos r = ρ sen 4θ, que es la ecuaci´on de una rosa de cuatro p´etalos.
Como ρ ∈ [0, 2], se tiene que Ω es la uni´on de todos los p´etalos hasta ρ = 2. Esto se muestra en la Figura 1.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Figura 1: Ω, la imagen de T (R).
(b) El Jacobiano de la transformaci´
on seobtiene del determinante de la siguiente matriz
∂(x, y)
cos θ sen 4θ
=
sen θ sen 4θ
∂(ρ, θ)
ρ(− sen θ sen 4θ + 4 cos θ cos 4θ)
,
ρ(cos θ sen 4θ + 4 sen θ cos 4θ)
el cual es ρ sen2 4θ. Se tiene entonces que el s´olido S est´a descrito por
4 − ρ2 sen2 4θ}.
S = {(ρ, θ, z) : 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ z ≤
Luego, si la constante de proporcionalidad es k > 0, la masa MS est´a dada por
√
MS
=
k
2
0
π/4=
4−ρ2 sen2 4θ
kzρ sen2 4θ dzdρdθ
4k
3
0
π/4
4 − ρ2 sen2 4θ ρ sen2 4θ dρdθ = 4k
0
0
4k
4k
3
0
2
0
=
2
0
π/4
=
π/4
kzdV =
Ω
=
√
4−x2 −y 2
2
1
sen2 4θ +
1 − sen2 4θ sen2 4θ dθ
3
3
π/4
(1 − cos 8θ)dθ +
0
π 1
+
4
8
1−
0
π/4
1
4
sen2 8θdθ
0
π/4
(1 − cos 16θ)dθ
0
1
=
3kπ
.
8
1
sen2 4θ sen2 4θ dθ
3
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica
Casa Central - Valpara´ıso
2. Para la regi´
on Ω ⊂ R3 definida como Ω =
par´
ametro m la integral
(x, y, z) ∈ R3 / |x| + |y| + |z| ≤ 16 , determine para que valores del
2
I=
Ω
2
2
e−(x +y +z )
dV
(4x2 + y 2 + z 2 )m
es convergente
Soluci´
on: Para acotar la integral impropia utilizaremos que si Ω ⊂ Ω1 entonces
f (x, y, z)g(x, y, z)dV ≤
g(x, y, z)dV ≤
m´
ax f (x, y, z)
(x,y,z)∈Ω
Ωm´ax f (x, y, z)
g(x, y, z)dV
(x,y,z)∈Ω
Ω
Ω1
luego
I≤
Ω
3
(4x2
1
dV,
+ y 2 + z 2 )m
2
2
2
(4x2
1
dV ≤
+ y 2 + z 2 )m
y definimos Ω1 = (x, y, z) ∈ R / 4x + y + z ≤ 64 y esta regi´on cumple que Ω ⊂ Ω1 , asi tenemos que
I≤
Ω
Ω1
(4x2
1
dV,
+ y 2 + z 2 )m
en la cual se utiliza coordenadas esf´ericas,
x =
ρ
2
y
=
ρ sin φ sin θ,
z
=
ρ cos φ,
sin φ cos θ,
∂(x, y, z)
ρ2 sin φ
=
, loque permite obtener que
∂(ρ, θ, φ)
2
cuyo jacobiano es
I≤
Ω1
1
dV = l´ım
2
a→0
(4x + y 2 + z 2 )m
2π
π
0
es decir
0
a
a→0
3
2.
la cual va a ser convergente si 3 − 2m > 0, o bien m <
integral diverge usaremos que si Ω2 ⊂ Ω entonces
m´ın
g(x, y, z)dV ≤
f (x, y, z)
ρ2 sin φ
dρdφdθ = 2π l´ım
a→0
2ρ2m
83−2m
a3−2m
−
3 − 2m 3 − 2m
I ≤ 2π l´ım
(x,y,z)∈Ω2
8
ρ2−2m dρ,
a
,
Para analizarpara que valores del par´ametros m la
f (x, y, z)g(x, y, z)dV ≤
Ω2
8
Ω2
f (x, y, z)g(x, y, z)dV
Ω
as´ı definiremos Ω2 = (x, y, z) ∈ R3 / 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 la cual cumple que Ω2 ⊂ Ω, de esta forma
2
Ω2
2
2
2
e−(x +y +z )
dV ≤
(4x2 + y 2 + z 2 )m
Ω
2
y como x2 + y 2 + z 2 ≤ 4x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 se tiene que e−(x
I ≥ e−1
Ω2
es decir
I ≥ 2π l´ım
a→0
asi la integral diverge si m ≥
+y2 +z 2 )
2π
1
dV = l´ım
a→0
(4x2 + y 2 + z 2 )m
0
π
0
1
a
2
2
≥ e−1 , lo que permite concluir que
ρ2 sin φ
dρdφdθ = 2π l´ım
a→0
2ρ2m
a3−2m
1
−
3 − 2m 3 − 2m
3
2
2
e−(x +y +z )
dV,
(4x2 + y 2 + z 2 )m
,
1
ρ2−2m dρ
a
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´
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Casa Central - Valpara´ıso
3. Sea Ω ⊂ R2 una l´
amina delimitada por las curvas
y = x3 , y...
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