Valores y vectores caracteristicos

[pic]

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DEL ORIENTE DEL ESTADO DE HIDALGO.

INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

TERSER SEMESTRE

MATEMATICAS IV
ING. DIONISIO MONTIEL FERRERA
ELABORO:
ROSANA HERRERA SANCHEZ
26 DE NOVIEMBRE DEL 2010

CALCULO DE LOS VALORES PROPIOS Y DE LOS VECTORES PROPIOS
Sea A una matriz de n x n con el valor propio ƛ y su correspondiente vector propio x.
Porlo tanto, Ax = ƛ x. Esta ecuación se rescribe como:
Ax-ƛx=0
De lo que nos da
(A-ƛIn)X=0
Esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones lineales en el que la matriz de coeficientes es (A - ƛ In).Una solución de sistemas es X=0. Sin embargo, se definieron los vectores propios como vectores distintos de cero. Estesistema tiene soluciones distintas de cero solo si la matriz de coeficientes es singular, es decir I A - ƛ I n I = 0. Al resolverlo la ecuación (A – ƛ I n) = 0 para ƛ, se encuentra los valores propios de A.
Al resolver el determinante I A – ƛ inI, se obtiene un polinomio en ƛ. A este tipo de polinomios se les llama POLINOMIO CARACTERISTICO de A. A la ecuación (A-ƛ I n) x =0, se encuentra losvectores propios correspondientes.
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
A= [pic]
Solución
Se obtiene primero el polinomio característico de A. Así.
A - ƛ I2 = [pic] -ƛ [pic]= [pic]
Observe la matriz
A –ƛi2(-4-ƛ)(5-ƛ)+18=ƛ 2- ƛ -2

Ahoraresuelva la ecuación característica de A
ƛ2 – ƛ = 0
(ƛ - 2) (ƛ + 1) = 0
ƛ = 2 o -1
Los valores propios de A son 2 y -1
Al usar estos vectores la ecuación (A-ƛi2)x=0 se encuentran los valores propios correspondientes. Para cada valor hay muchos vectores propios correspondientes.Usando ƛ=2
Resuelva la ecuación [pic] para x. La matriz (A – 2In) se obtiene restándole 2 a los elementos de una diagonal de A. Se tiene

[pic]=0

Esto conduce al siguiente sistema de ecuaciones
[pic]
[pic]

De donde se obtiene [pic] . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son X1 = -r y X2 =r, donde r es un escalar.Por lo tanto, los vectores propios de A que corresponden a ƛ=2 son los vectores distintos de cero de la forma
R [pic]

Siempre es interesante saber si un conjunto de vectores forma un sub espacio. Observe que el conjunto de vectores propios para ƛ=2, conjuntos de vectores cero, es un sub espacio unidimensional de R 2 con base[pic]. También el conjunto de vectores propios para ƛ=-1, junto con el vector cero, es un sub espacio unidimensional de R2 con base {I-2 1 I}; estas observaciones llegan al siguiente teorema.
TEOREMA
Sea A una matriz de n x n y ƛ un valor propio de A. El conjunto de vectores propios correspondientes para ƛ, junto con el vector cero, es un sub espacio de Rn . A este sub espacio se leconoce como espacio propio de ƛ.

DEMOSTRACION: Para demostrar que el espacio propio es un sub espacio, se tiene que comprobar que es cerrado bajo la adición de vectores y bajo la multiplicación por un escalar.

Sea X1 y X2 dos vectores en el espacio propio de[pic] y sea c un escalar. Entonces Ax1 = ƛ x1 y Ax2 = xƛ2. Por lo que
[pic]
[pic]

Por lo tanto x1+x2 es un vector en elespacio propio de ƛ. Entonces el espacio propio es cerrado bajo la adición.
Ahora, como Ax1 = ƛx1
cAx1 = cƛx1 A (cx1) = ƛ (cx1)

Por lo que, Cx1 es un vector en el espacio propio de ƛ. Entonces, el espacio propio es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.
Por lo tanto, el espacio propio es un sub espacio.

El polinomio característico de A es IA – ƛI3I. Usando...