Transformada z

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Transformada Z
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Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas

17/11/99

Capítulo 7: Transformada Z

1

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Definición y Propiedades
Ì

Se define la Transformada Z, X(z) de una secuencia x[n] : ∞
X (z ) =
k =−∞

∑ x[k ]z − k

Ì

Ì

ÌÌ

La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominio complejo, z=|r|exp(j2πfts)n=0 . Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3}, la Transformada Z es X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El valor z-1 es el operador de retraso unidad. Ya que X(z) es una series de potencias, podría no converger para todo z. Los valores de z para los cuales X(z) converge definen la región de convergencia(ROC). Toda X(z) lleva asociada una ROC, ya que podría ocurrir que dos secuencias distintas produzcan una X(z) idéntica con diferentes ROCs.
Capítulo 7: Transformada Z 2

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Definición y Propiedades
Ì

Ì

Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z, excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z) tiene términosz-k y/o zk). Transformadas Z de algunas secuencias
Impulso Unidad PulsoRectangula r X (z) = 1 ROC: − ∞ ≤ z ≤ ∞ x[n] = u[n]− u[n − N] x[n] = δ [n]

(1− z ) X (z) = ∑z = (1− z )
N −1 k =0 −N −1 −k

z ≠ 1 ROC: z ≠ 0

Escalon Un idad

x[n] = u[n]
∞ k =0

X (z) = ∑z−k = Exponencia l x[n] = α ku[n]
∞ k =0

z 1 = ROC: z > 1 −1 (1− z ) (z −1)
∞

X (z) = ∑α k z−k = ∑(α z) =
k k =0

zROC: z > α (z −α )
Capítulo 7: Transformada Z 3

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Definición y Propiedades
Ì

Transformadas Z de algunas secuencias (Continuación)
Exponencial x[n] = −α n u[− n − 1], n = −1,−2,... X (z ) =
k =−∞

∑ −α

−1

k

z

−k

= ∑ −α
m =1

∞

−m m

z = ∑ −( z α )
m =1

∞

m

=−

z (z α ) = [1 − (z α )] (z − α )

ROC: z< α

x

En estos dos últimos ejemplos se observa que la Transformada Z es idéntica para las dos secuencias. Sin embargo la ROC es distinta. Para la secuencia causal, la ROC es |z|>|α|, mientras que para la anticausal |z| 0 δ [n + m], m > 0
u[n] −u[− n − 1]

Transformada Z 1 z-m zm
z (z − 1) z (z − 1)

ROC todo z |z|>0 |z|1 |z||a| z|a|

− a nu[− n − 1] na nu[n]

[cos nω T ]u[n]
0z z − (cos nω 0 T )

[

]

|z|>1 |z|>1 |z|>|r| |z|>|r|
Capítulo 7: Transformada Z 7

[sin nω 0T ]u[n]
r n [cos nω 0 T ]u[n] r n [sin nω 0 T ]u[n]
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z sin nω 0 T z 2 − 2(cos nω 0 T )z + 1

z 2 − 2 r(cos nω 0 T )z + r 2 z 2 − 2r(cos nω 0 T )z + r 2 zr(cos nω 0 T )

z z − r(cos nω 0 T )

[

]

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Transformada Z Inversa
Ì

ÌRealizaremos la Transformada Z Inversa utilizando fracciones parciales. La Transformada Z Inversa de cada una de estas fracciones parciales puede ser identificada fácilmente en las tablas de Transformadas Z. Ejemplos
X (z ) =

(z − 1 )(z − 1 ) 4 2

1

⇒

X (z ) 1 8 16 8 = = − + ⇒ z z(z − 1 )(z − 1 ) z (z − 1 ) (z − 1 ) 4 2 4 2

X (z ) = 8 −

16 z 8z n n + ⇒ x[n] = 8δ [n] − 16( 1 )u[n] + 8( 1 ) u[n] 4 2 (z − 1 ) (z − 1 ) 4 2
⇒ X (z ) A B C 1 = = + = 2 2 + z (z − 1) (z − 2) (z − 1) (z − 1) (z − 2)

X (z ) =

[(z − 1) (z − 2)]
2

z

=

1 z z z −1 −1 + + ⇒ X (z ) = − − + ⇒ (z − 1) (z − 1)2 (z − 2) (z − 1) (z − 1)2 (z − 2) x[n] = −u[n] − nu[n] + (2)n u[n]

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Capítulo 7: Transformada Z

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Transformada Z Inversa( z − 3z ) ⇒ X ( z ) = A Bz + C (z − 3) = + X (z ) = z (z − 2)(z − 2 z + 2) (z − 2)(z − 2 z + 2) (z − 2) (z − 2 z + 2)
2 2 2 2

=

1 1 −1z −1 z(z + 2 ) z +1 2 ⇒ X (z ) = 2 + 2 + 22 (z − 2 ) z − 2 z + 2 ) (z − 2 ) z 2 − 2 z + 2 )

(

(

=

5 1 −1z z 2 2 z (z − 1) + 2 + 2 2 ⇒ (z − 2 ) z − 2 z + 2 ) z − 2 z + 2 )

(

(

5 x[n] = − 1 (2)n u[n] + 1 ( 2 ) cos(n π )u[n] + 2 ( 2 )...